Sous-espaces vectoriels supplémentaires

quelles sont les démarches à suivre pour

Ecrire en recommandé au dieu des sciences.

Ce n'est pas du tout méchant, c'est une blague relative à l'expression "quelles sont les démarches à accomplir" qui est généralement utilisée dans les communications administratives.

Pour me faire pardonner, je réponds donc:

<< $F,G$ sont supplémentaires dans $E$>>

est une abréviation de

<< Tout élément de $E$ est de la forme $u+v$ avec $(u,v)\in F\times G$ et $F\cap G = \{0\}$ >>

Disons les choses de manière plus appropriée :

"Les sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$" veut dire que pour tout $x$ de $E$ il existe un unique couple $(y,z)$ avec $y\in F$ et $z\in G$ tel que $x=y+z$.

Bonjour Poirot

Bon, il n'est pas nécessaire d'être aussi méchant avec Jmk.

Le jour où vous verrez CC méchant c'est pas pour demain...
Le seul qui fait vraiment aimer la logique ici c'est lui!
moi je constate les faits

1°) J'ai en tête plusieurs cas où la démonstration de la "supplémentarité" s'effectue par analyse-synthèse, donnant l'unicité en cours de route (fonctions paires/impaires, matrices symétriques/antisymétriques ; on peut voir ça comme le lemme des noyaux pour une involution).
2°) L'existence et l'unicité de la décomposition est le bon bout pour prendre les choses quand on a plus de deux sous-espaces.

GBZM a écrit:

est le bon bout pour prendre les choses quand on a plus de deux sous-espaces

C'est un argument fondamental et sans appel que tu nous signales. J'appuie en apportant un témoignage: tout à l'heure quand j'ai cliqué sur envoyer, je me suis déconnecté tout de suite je crois et dans la rue, j'ai repensé à ma réponse et je m'en voulais justement parce que ma réponse ne disait rien de comment on généralise à $\geq 3$ espaces. Alors, en marchant, j'ai commencé à réfléchir (certes de manière distraite), aléatoirement en passant en revue diverses possibilités, je me disais "bon, les espaces ont globalement une intersection nulle, bon, les espaces ont 2 à 2 une intersection nulle, bon, en fait, mieux, $E_3\cap (E_1+E_2+E_4+...)=Nul$ etc, "

Puis je me suis dit "mais ce ne sont que des définitions", on ne justifie pas une définition.

Puis je me suis demandé "pourtant j'ai un thermomètre, un évaluateur, pour m'en faire préférer une plus qu'une autre". Et là, tilt, je me suis dit "bin, en fait il y a une "surdéfinition" (en fait, la bonne, celle que tu signales), que je cherche à atteindre tout bêtement, donc autant la prendre elle (qui est que pour tout élément de la somme, l'écriture en somme blabla est unique)"

J'ai souvent déclaré, en enseignant, en particulier lors du jeu prouveur-sceptique-calcul***, que quand on dit aux gens <<les maths sont principalement de la psychanalyse>>, ils font d'un coup un progrès radical quand ils acceptent cette idée. C'est l'occasion de caser ces 2 trucs.

[small]*** c'est un jeu que je fais jouer à mes élèves. La situation de départ est un couple (a,b), le prouveur joue c, le sceptique choisit si on continue avec le couple (a,c) ou avec le couple (c,b), et ainsi de suite. Le prouveur gagne quand (et si ça arrive), il est EVIDENT que le couple (u,v) auquel on est arrivé est tel que u=v.

Quand ils jouent, par exemple avec le couple $(342 + 277, 619)$, les élèves non matheux (ou même matheux un peu), les prouveurs proposent des trucs "savants", par exemple 336 + 3 + 280-3. Ils ne cherchent pas à dire ce "qu'ils pensent franchement". Et quand on leur dit de jouer avec sincérité psychanalytique, ils se mettent à bien jouer (par exemple ici, on peut commencer en proposant 300+40+2+200+70+7[/small]