Groupe, sous-groupe
Bonjour, je suis un élève de L1 de mathématiques et je bloque sur un exercice portant sur les groupes :
Soit le groupe G = Z/12Z. ( Muni de l'addition )
1. Déterminer le sous-groupe H de G engendré par 6 et 8 et déterminer son ordre.
2. Caractériser les générateurs de G.
3. Quel est l’ordre de l’élément 9 ?
( Il y a des "barres" sur les : "6" , "8" , "9" )
Et je ne vois pas quoi faire du tout.
Pour la 1 j'ai fait la table d'addition de Z/12Z , je ne vois pas à quoi elle peut me servir ...
De plus j'ai décrit les ensemble 6 = { 6+k*n , avec K dans Z et n dans N ) , de même pour 8. ( toujours 6 ; 8 avec des barres )
J'aimerai quelques explications sur cet exercice ( je reviendrai sur ce post après mes cours )
Cordialement
Soit le groupe G = Z/12Z. ( Muni de l'addition )
1. Déterminer le sous-groupe H de G engendré par 6 et 8 et déterminer son ordre.
2. Caractériser les générateurs de G.
3. Quel est l’ordre de l’élément 9 ?
( Il y a des "barres" sur les : "6" , "8" , "9" )
Et je ne vois pas quoi faire du tout.
Pour la 1 j'ai fait la table d'addition de Z/12Z , je ne vois pas à quoi elle peut me servir ...
De plus j'ai décrit les ensemble 6 = { 6+k*n , avec K dans Z et n dans N ) , de même pour 8. ( toujours 6 ; 8 avec des barres )
J'aimerai quelques explications sur cet exercice ( je reviendrai sur ce post après mes cours )
Cordialement
Réponses
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Tu as sans doute un cours.
Qu'est-ce que le sous-groupe de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ engendré par $\overline{6}$ et $\overline{8}$ ?
Courage. -
Le problème de mon cours c'est qu'il ne parle que de la définition du sous groupe, et ne montre pas d'exemple pour en «déterminer» un.
D'ailleurs , que veut diredire déterminer dans ces cas la ? ( expliciter ? ) -
Par définition, le sous-groupe engendré par $\bar{6}$ et $\bar{8}$ est le plus petit sous-groupe de $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ qui contient $\bar{6}$ et $\bar{8}$. Tu peux chercher ce sous-groupe à la main vu qu'on a affaire à un petit groupe dans lequel on sait faire les calculs explicitement !
-
En gros, puisque la loi est "+", essaye de trouver tous les éléments que l'on peut obtenir à partir de 6, de 8 et en utilisant "+".
-
Et $-$.
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Avec le modulo 12 du coup ?
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Oui bien sûr. Certains abusent de la notation, mais on regarde bien les éléments $\bar{6}$ et $\bar{8}$ du groupe $\mathbb Z/12 \mathbb Z$.
-
Dans ce cas les plus petits éléments que je peux faire sont les 2+k*n ?
Désolé si je raconte des bêtises, c'est vraiment nouveau pour moi. -
Que désignent $k$ et $n$ ? Et pourquoi parles-tu de $2$ alors qu'il ne s'agit pas d'un élément de ce groupe ?
-
Je pense ne pas avoir compris la remarque apporté par Dom.
-
Tu devrais écrire à la main les sous-groupes de $\mathbb Z/12 \mathbb Z$, les voir t'aidra.
Vu que 12 est divisible par 1,2,3,4,6 et 12 ca n'en fait pas beaucoup. -
@Morgatte : je ne suis pas certain que Kinorri ait vu le théorème de Lagrange. J'ai donné exactement cet exercice en TD récemment, et les élèves n'avaient pas vu ce théorème.
@Kinorii : comme on l'a déjà dit, le sous-groupe engendré par $\bar 6$ et $\bar 8$ dans $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ est le plus petit sous-groupe de $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ contenant $\bar 6$ et $\bar 8$. Comme il s'agit d'un sous-groupe, il contient certainement $\bar 6 + \bar 6$, $\bar 6 + \bar8$, etc. Essaye déjà de voir quels éléments de ton groupe tu peux obtenir en faisant de telles opérations. Ensuite, si ces éléments forment un sous-groupe, bingo, c'est forcément le plus petit sous-groupe contenant $\bar 6$ et $\bar 8$, puisqu'alors tout sous-groupe contenant $\bar 6$ et $\bar 8$ contiendra ce sous-groupe. -
C'est bon j'ai enfin compris , merci
J'ai aussi réussi les autres questions.
Et non je n'avais pas vu le théorème de [large]L[/large]agrange
[Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prend toujours une majuscule. AD]
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Bonjour!
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