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Groupe, sous-groupe

KinoriiKinorii
dans Algèbre
Bonjour, je suis un élève de L1 de mathématiques et je bloque sur un exercice portant sur les groupes :

Soit le groupe G = Z/12Z. ( Muni de l'addition )
1. Déterminer le sous-groupe H de G engendré par 6 et 8 et déterminer son ordre.
2. Caractériser les générateurs de G.
3. Quel est l’ordre de l’élément 9 ?

( Il y a des "barres" sur les : "6" , "8" , "9" )

Et je ne vois pas quoi faire du tout.
Pour la 1 j'ai fait la table d'addition de Z/12Z , je ne vois pas à quoi elle peut me servir ...
De plus j'ai décrit les ensemble 6 = { 6+k*n , avec K dans Z et n dans N ) , de même pour 8. ( toujours 6 ; 8 avec des barres )

J'aimerai quelques explications sur cet exercice ( je reviendrai sur ce post après mes cours )
Cordialement

Réponses

  • ChaurienChaurien
    Tu as sans doute un cours.
    Qu'est-ce que le sous-groupe de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ engendré par $\overline{6}$ et $\overline{8}$ ?
    Courage.
  • KinoriiKinorii
    Le problème de mon cours c'est qu'il ne parle que de la définition du sous groupe, et ne montre pas d'exemple pour en «déterminer» un.
    D'ailleurs , que veut diredire déterminer dans ces cas la ? ( expliciter ? )
  • PoirotPoirot
    Par définition, le sous-groupe engendré par $\bar{6}$ et $\bar{8}$ est le plus petit sous-groupe de $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ qui contient $\bar{6}$ et $\bar{8}$. Tu peux chercher ce sous-groupe à la main vu qu'on a affaire à un petit groupe dans lequel on sait faire les calculs explicitement !
  • DomDom
    En gros, puisque la loi est "+", essaye de trouver tous les éléments que l'on peut obtenir à partir de 6, de 8 et en utilisant "+".
  • Math CossMath Coss
    Et $-$.
  • KinoriiKinorii
    Avec le modulo 12 du coup ?
  • PoirotPoirot
    Oui bien sûr. Certains abusent de la notation, mais on regarde bien les éléments $\bar{6}$ et $\bar{8}$ du groupe $\mathbb Z/12 \mathbb Z$.
  • KinoriiKinorii
    Dans ce cas les plus petits éléments que je peux faire sont les 2+k*n ?
    Désolé si je raconte des bêtises, c'est vraiment nouveau pour moi.
  • PoirotPoirot
    Que désignent $k$ et $n$ ? Et pourquoi parles-tu de $2$ alors qu'il ne s'agit pas d'un élément de ce groupe ?
  • KinoriiKinorii
    Je pense ne pas avoir compris la remarque apporté par Dom.
  • MorgatteMorgatte
    Tu devrais écrire à la main les sous-groupes de $\mathbb Z/12 \mathbb Z$, les voir t'aidra.
    Vu que 12 est divisible par 1,2,3,4,6 et 12 ca n'en fait pas beaucoup.
  • PoirotPoirot
    @Morgatte : je ne suis pas certain que Kinorri ait vu le théorème de Lagrange. J'ai donné exactement cet exercice en TD récemment, et les élèves n'avaient pas vu ce théorème.

    @Kinorii : comme on l'a déjà dit, le sous-groupe engendré par $\bar 6$ et $\bar 8$ dans $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ est le plus petit sous-groupe de $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ contenant $\bar 6$ et $\bar 8$. Comme il s'agit d'un sous-groupe, il contient certainement $\bar 6 + \bar 6$, $\bar 6 + \bar8$, etc. Essaye déjà de voir quels éléments de ton groupe tu peux obtenir en faisant de telles opérations. Ensuite, si ces éléments forment un sous-groupe, bingo, c'est forcément le plus petit sous-groupe contenant $\bar 6$ et $\bar 8$, puisqu'alors tout sous-groupe contenant $\bar 6$ et $\bar 8$ contiendra ce sous-groupe.
  • KinoriiKinorii
    C'est bon j'ai enfin compris , merci
    J'ai aussi réussi les autres questions.
    Et non je n'avais pas vu le théorème de [large]L[/large]agrange

    [Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prend toujours une majuscule. AD]
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