Nombre rationnel

hass hass
hass hass
dans Algèbre
prier de m'excuser si j'etais mal compris dans une ancienne participation et
permetter moi de reprendre le meme sujet
demontre que :
racinecarré de ((5n+1)/(n+1)) est rationnel si et seulement si n=17
et merci d'avance .et encore une fois toutes mes excuses

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    C'est quoi un niombre (deuxième fois que tu écris ça donc je pense que ce n'est pas une faute) ?
  • hass hass
    hass hass
    je veux dire nombre et pas niombre
    merci
  • Chalk
    Chalk
    Et alors pourquoi tu ne corriges pas ton post ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Tout à l'heure, c'était $\sqrt{\dfrac{15n+1}{n+1}}$ et ça semblait vrai.

    Edit : Plantage à la copie, comme noté ci-dessous : c'était $\sqrt{\dfrac{n+15}{n+1}}$.
  • hass hass
    hass hass
    merci Math Coss
    c'est exactement ça
    je ne sais pas comment taper le signe de racine carré
  • zeitnot
    zeitnot
    Il me semble que ce n'est toujours pas le bon énoncé.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Apparemment, hass hass a tellement travaillé sur cet énoncé qu'il est incapable de le reproduire ou même de le reconnaître.

    PS. hass hass, si tu veux te mettre à réfléchir au problème, tu peux commencer par te demander quels sont les entiers par lesquels on peut diviser numérateur et dénominateur de $\dfrac{n+15}{n+1}$ pour obtenir la fraction sous forme réduite. Pourquoi commencer par ça ? Parce qu'une fraction rationnelle sous forme réduite $\dfrac{p}{q}$ est un carré dans $\Q$ si et seulement si $p$ et $q$ sont des carrés dans $\N$.
  • hass hass
    hass hass
    R GaBuZoMeu

    VOILA CE QUE J'AI Fait:
    on Suppose que racine ( n+15/n+1) appartient ?Q.donc n+15/n+1=p^2/q^2
    soit d le PGDC DE (n+15,n+1) donc d divise n+15-n-1=14
    cad d appartient à {1.2.7.14}
    d'autre part n+15/d =p^2 et n+1/d=q^2
    donc p^2-q^2=14/d
    1er cas d=14
    p^2-q^2=1 >= p^2-(p-1)^2=2p-1 imposible
    reste à verifier les autres cas
  • Poirot
    Poirot
    Il faut supposer que $p$ et $q$ sont premiers entre eux pour déduire que $\frac{n+15}{d}=p^2$.

    Ensuite je ne comprends pas ton inégalité, ni ta contradiction. Si $p=1$ on a bien $1 \geq 2p-1$...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ton traitement du cas d=14
    "p^2-q^2=1 >= p^2-(p-1)^2=2p-1 imposible "
    n'est pas très clair.
    Mais tu es sur une bonne voie. Tu peux peut-être poser $p=q+\ell$ avec $q>0$ et $\ell>0$ pour éclaircir la discussion. Le cas $d=14$ conduit alors à $2q\ell+\ell^2=1$.
    Continue en traitant les autres cas.
  • zeitnot
    zeitnot
    si et seulement $n=17$
    ,

    hum, pour $n= - 33$ j'ai le sentiment qu'on obtient un beau rationnel aussi. B-)-
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $n=\dfrac34$ marche aussi.
    La nature de $n$ n'est pas précisée. J'ai interprété come "$n$ entier naturel".
  • hass hass
    hass hass
    excusez moi les amis pour cette absence due à une force majeur
    voila la réponse que j'ai pu réservé a ce sujet
    n entier nature démontrer que ? (n+15)/n+1 ? Q si et seulement si n=17
    on Suppose que racine ( n+15/n+1) ?Q. donc ?n+15/n+1=p/q PGCD(p,q)=1
    cad que( n+15)/(n+1)=p^2/q^2
    soit d le PGCD DE (n+15,n+1) donc d divise n+15-n-1=14 cad d appartient à {1.2.7.14}
    on sait que (n+15)/d et ( n+1)/d sont premiers entre eux donc :
    p^2=(n+15)/d et q^2=(n+1)/d donc p^2-q^2=14/d cad p^2-q^2 ? {1.2.7.14}
    la question revient à chercher les couples(p,q) tel que p^2-q^2?{1.2.7.14}
    or q^2<p^2 car n>1 donc q<= p-1 donc p^2-q^2>=p^2-(p-1)^2=2p-1 d’où
    1er cas : p^2-q^2=1 impossible car on aura 2p-1<=1 cad p<=1 impossible
    2éme cas p^2-q^2=2 impossible car on aura aussi 2p-1<=1 cad p<=1.5
    il reste seulement p^2-q^2? {7.14}
    on verifie tous les cas possibles dans le tableau ci aprés j'usqu"à p=4 pour 7 et p=8 pour 14
    table:
    2^2?1^2=3,
    3^2?2^2=5, 3^2?1^2=8,
    4^2?3^2=7, 4^2?1^2=15,
    5^2?4^2=9, 5^2?3^2=16,
    6^2?5^2=11, 6^2?1^2=35,
    7^2?6^2=13, 7^2?5^2=24,
    8^2?7^2=15.
    donc p=4 et q=3 cad n=17
    merci encore pour votre attention
  • hass hass
    hass hass
    EXCUSEZ MOI POUR LES FAUTES DU 0 L ORDINATEUR
    VOICI LA CORRECTION

    excusez moi les amis pour cette absence due à une force majeur
    voila la réponse que j'ai pu réservé a ce sujet
    n entier nature démontrer que racine((n+15)/(n+1)) appartient à Q si et seulement si n=17
    on Suppose que racine ( n+15/n+1) appartient à Q. donc racine (n+15/n+1)=p/q PGCD(p,q)=1
    cad que( n+15)/(n+1)=p^2/q^2
    soit d le PGCD DE (n+15,n+1) donc d divise (n+15)-(n+1)=14 cad d appartient à {1.2.7.14}
    on sait que (n+15)/d et ( n+1)/d sont premiers entre eux donc :
    p^2=(n+15)/d et q^2=(n+1)/d et p^2-q^2=14/d cad p^2-q^2 appartient à {1.2.7.14}
    la question revient à chercher les couples(p,q) tel que p^2-q^2?{1.2.7.14}
    or q^2<p^2 car n>1 donc q<= p-1 donc p^2-q^2>=p^2-(p-1)^2=2p-1 d’où
    1er cas : p^2-q^2=1 impossible car on aura 2p-1<=1 cad p<=1 impossible
    2éme cas p^2-q^2=2 impossible car on aura aussi 2p-1<=1 cad p<=1.5
    3eme cas p^2-q^2=14 donc p<=7
    4eme cas p^2-q^2=7 donc p<=4
    il reste seulement p^2-q^2 appartient à {7.14}
    on verifie tous les cas possibles dans le tableau ci aprés p=2 j'usqu"à p=4 pour 7 et p=7 pour 14
    table:
    2^2-1^2=3,
    3^2-2^2=5, 3^2-1^2=8,
    4^2-3^2=7, 4^2-1^2=15,
    5^2-4^2=9, 5^2-3^2=16,
    6^2-5^2=11, 6^2-1^2=35,
    7^2-6^2=13, 7^2-5^2=24,

    donc p=4 et q=3 cad n=17
    merci encore pour votre attention
  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, la question aurait du être quel rationnel forme cette racine (numérateurs et dénominateurs entiers) et la réponse est clair (unique à inverse prés) $\dfrac {3}{4}$
    tu fais la différence $$ a(p-q)(p+q)=14$$
    à résoudre $a, p, q$ entiers...
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