commutateur d'un groupe
Réponses
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Bonsoir Siwi
Peux-tu préciser ce que tu entends par "commutateur d'un groupe". Est-ce le sous-groupe dérivé engendré par les commutateurs du groupe ou le centre du groupe, dont les éléments commutent avec tous les éléments du groupe ?
Enfin, pour parler de la même chose, peux-tu donner une définition précise du groupe dicyclique $Q_{4n}$ ?
Je connais le groupe dicyclique $$Dic_m=\langle a,b\mid a^{2m}=1,\ b^2=a^m,\ bab^{-1}=a^m\rangle.$$ Comment relier ton $Q_{4n}$ avec mon $Dic_m$ ? Quelle relation entre ton $n$ et mon $m$ ?
Alain -
$\mathrm{Dic}_n=Q_{4n}$ (voir ici).
-
Bonsoir,
Le commutateur d'un groupe est l’élément qui engendre le sous groupe dérivé
et $Q_{4n}=\left\{e,\sigma,...\sigma^{2n-1},\nu,\nu\sigma,...,\nu\sigma^{2n-1}\right\}$
où $\sigma=\begin{pmatrix}e^{\pi \frac{i}{n}}&0\\0&e^{-\pi \frac{i}{n}}\end{pmatrix}$
$\nu=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$
et on a
$\nu^2=\sigma^n$, $\nu\sigma\nu^{-1}=\sigma^{-1}$ -
Moi je croyais que le sous-groupe dérivé était le sous-groupe engendré par les commutateurs, ce qui ne veut pas du tout dire ce que tu écris.Le commutateur d'un groupe est l’élément qui engendre le sous groupe dérivé -
vous avez raison
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Re-bonsoir Siwi
D'accord, tu veux déterminer le sous-groupe dérivé de $Q_{4n}$ ainsi défini.
Commence déjà par calculer le commutateur de $\sigma$ et $\nu$ qui sera donc un élément du sous-groupe dérivé.
$[\sigma,\nu]= \ldots ?\quad$ À toi...
Alain -
$=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
-
Non, tu as fait une erreur.
Plutôt que de calculer avec des matrices, calcule directement avec $\sigma$ et $\nu$ puisque tu as la formule $\nu\sigma\nu^{-1}=\sigma^{-1}$.
Alain -
c'est $\nu$?
-
Non. Montre le calcul que tu as fait, pour pouvoir le corriger.
Alain -
$\nu\sigma\nu^{-1}\sigma^{-1}=\sigma^{-1}\sigma^{-1}=(\sigma^{2})^{-1}$
-
OK.
Donc le sous-groupe dérivé, qu'on note généralement $D(G)$, contient $(\sigma^2)^{-1}$.
Quel argument peux-tu donner pour dire qu'il contient aussi $\sigma^2$ ?
Ensuite, quel est l'ordre de $\sigma^2$ ?
Alain -
s'il contient un élément alors il contient son inverse car c'est un groupe
et l'ordre de $\sigma^2$ est $n$ -
OK. Quel est l'ordre de $Q_{4n}$ ?
Déduis-en l'indice du sous-groupe $\langle \sigma^2\rangle$ engendré par $\sigma^2$.
Alain -
L'ordre de $Q_{4n}$ est $4n$ l'indice est $4n/n=4$.
-
(tu)
Peux-tu montrer que le sous-groupe $\langle \sigma^2\rangle$ est distingué dans $Q_{4n}$ ?
(utilise les formules données entre les générateurs $\sigma$ et $\nu$ de $Q_{4n}$).
Alain -
Bonjour AD,
J'ai un test cette après-midi, et je ne sis pas comment répondre complètement à cette question, pouvez vous s'il vous plait m’écrire une réponse complète qui peut être accepter par un prof. Je serai très reconnaissant. Merci en avance -
Autrement dit, tu veux tricher pour le test ? Au moins, tu as la franchise de l'avouer.
-
voila ma réponse:
- $\sigma^m \sigma^n \sigma^{-m} \sigma^{-n} = e$
- $\nu^m \nu^n \nu^{-m} \nu^{-n} = e$
- $\sigma^m (\nu \sigma^{n}) \sigma^{-m} (\nu \sigma^{n})^{-1} = \sigma^m \nu \sigma^{-m} \nu^{-1} = \sigma^{2m}$
alors le commutateur est $\langle \sigma^2 \rangle$.
est elle juste? -
J'ai une question:
Si on veut écrire $\sigma\nu\sigma^{-1}=\rho^3$ c'est qui le $\rho$ explicitement? -
Bonjour Siwi
En réponse à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1527310,1527446#msg-1527446
Il manque la vérification que $[\sigma^k\nu,\sigma^\ell\nu] \in\langle\sigma^2\rangle$ pour affirmer que le sous-groupe dérivé est $\langle\sigma^2\rangle$.
Alain -
Bonsoir Siwi,
J'étais parti dans une autre direction pour montrer que le sous-groupe dérivé $D(Q_{4n})$ est précisément $\langle \sigma^2\rangle$.
Puisque $[\sigma,\nu]=\sigma^{-2}$, tu venais de montrer que $\langle \sigma^2\rangle \subset D(Q_{4n})$.
Pour obtenir l'inclusion dans l'autre sens, je te demandais de montrer que $\langle \sigma^2\rangle$ est distingué dans $Q_{4n}$, ainsi le quotient $Q_{4n}/\langle \sigma^2\rangle$ est un groupe d'ordre 4. Mais les groupes d'ordre 4 sont commutatifs (soit $\Z/4\Z$, soit $(\Z/2\Z)^2$), donc $D(Q_{4n}) \subset \langle \sigma^2\rangle$.
Tu en aurais alors déduit l'égalité $D(Q_{4n}) = \langle \sigma^2\rangle$.
Alain
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