espace vectoriel de dimension finie

Bonjour;
Et merci d'avance pour toute réponse

pour mon cahier (encombré) y aurait-il un moyen correct pour réduire ma démo trop longue là?

soit E un espace vectoriel de dimension fini m sur un corps commutatif K
alors E est isomorphe à l'ensemble des (1,m)-matrices ou à l'ensemble des (m,1)-matrices muni de la structure d'espace vectoriel

démo
pour tout x de E, et toute base fixée $B=(e_1,...,e_m)$ de E
il n'existe qu'une seule et unique famille $(y_1,...,y_m)$ de $K\times \cdots\times K$, $m$ fois telle que
$y_1e_1+\cdots+y_me_m=x$,
pour tout $(y_1,...,y_m)$ de $K\times \cdots\times K$, $m$ fois et toute base fixée $B=(e_1,...,e_m)$ de $E$

il n'existe qu'un seul et unique vecteur x de E tel que $y_1e_1+...+y_me_m=x$

donc il existe une bijection de $f$ de E vers $K\times ...\times K$, m fois
et comme l'ensemble des $K\times ...\times K$, m fois est aussi l'ensemble des (1,m)-matrices sur K
et comme on peut munir l'ensemble des (1,m)-matrices sur K d'une structure d'espace vectoriel
alors il est toujours possible de construire un isomorphisme de E vers l'ensemble des (1,m)-matrices sur K
et donc aussi vers l'ensemble des (m,1)-matrices sur K