Distance à un sev dans un espace euclidien

Si je ne me trompe, les polynômes orthogonaux pour ce produit scalaire sont les polynômes de Laguerre $L_n$, qui satisfont aux relations habituelles pour les polynômes orthogonaux.
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Je vais peut-être sortir une grosse ânerie mais avait-elle le droit à la machine durant l'oral ? (Comme à l'agreg, à utiliser à bon escient).

En fait, on peut faire sans : $F^{\perp}$ est une droite. Soit $Q$ un vecteur directeur de cette droite. Alors $Q = \displaystyle \sum_{k=0}^n \langle Q,P_k\rangle P_k$.
Or, $ \langle Q,P_k \rangle = \langle Q,P_k-P_k(0) \rangle + \langle Q,P_k(0) \rangle$ et $\langle Q,P_k-P_k(0) \rangle = 0$ car $P_k-P_k(0) \in F$. Donc $ \langle Q,P_k \rangle = \langle Q,P_k(0) \rangle = P_k(0) \langle Q,1 \rangle$. En posant $\alpha = \langle Q,1 \rangle$, on a donc $Q = \alpha \displaystyle \sum_{k=0}^n P_k(0) P_k$.
On peut normaliser ce vecteur. D'après la question 2, $\|Q\|^2 = \alpha^2 \displaystyle \sum_{k=0}^n P_k(0)^2 = (n+1)\alpha^2$. Du coup, $Q_0 =\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \displaystyle \sum_{k=0}^n P_k(0) P_k$ est un vecteur unitaire qui engendre $F^{\perp}$.
On en déduit immédiatement $d(1,F) = \left| \langle 1,Q_0\rangle \right|= \left| \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}P_0(0) \right|= \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ car $\langle 1,P_k\rangle = \left\lbrace \begin{array}{rl} 0 & \text{si }k\neq 0 \\ 1 & \text{si }k=0 \end{array} \right.$.

Tout est donc caché dans le "on sait que" au début du message...

Je pense que Poirot faisait plutôt allusion à "On sait que les polynômes de Laguerre sont les coefficients..."

Voyons voir les détails, puisque cela semble nécessaire.

La première question est routinière. Elle donne : $$L_0=1\;;\;L_1=1-x\;;\;L_2=1-2\,x+\frac 1 2\,{x}^{2}\;;\; L_3=1-3\,x+\frac 3 2 {x}^{2}-\frac 16 \,{x}^{3}$$

La seconde question est astucieuse mais sans difficulté majeure. En effet, on sait que $L_{n}$ fait partie du sous espace engendré par $x\,L_{n-1}, \,L_{n-1}, \,L_{n-2}$ (il faut bien savoir quelque chose à un moment ou un autre !), et l'on voit que la relation de liaison ressemble à
$$nL_{{n}}+ \left( x-2\,n+1 \right) L_{{n-1}}+ \left( n-1 \right) L_{{n-2}}=0$$

On prouve, si besoin est, que l'on a bien vu. On a d'une part $S(0)=1$ et d'autre part:
\begin{eqnarray*} 0=\sum _{n=0}^{\infty } rec_n\,z^n &=&
\sum _{n=0}^{\infty }\;\left[{z}^{n}L_{{n}}n+ \left( x-2\,n+1 \right) {z} ^{n}L_{{n-1}}+ \left( n-1 \right) L_{{n-2}}{z}^{n} \right]
\\&=&
\sum _{n=0}^{\infty }\left[ {z}^{n+2}L_{{n}} \left( n+1 \right) + \left( x-2\,n-1 \right)
{z}^{n+1}L_{{n}}+{z}^{n}L_{{n}}n\right]+ \left( x+1 \right) L_{{-1}}-L_{{-2}}
\\&=&
\left( z-1 \right) ^{2}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{z}^{n}L_{{n}}n \right]
+z \left( x+z-1 \right) \sum _{n=0}^{\infty }\left[{z}^{n}L_{{n}}\right]
\\&=&
\left( z-1 \right) ^{2}z{\frac {\rm d}{{\rm d}z}}S \left( z \right) +z \left( x+z-1 \right) S \left( z \right)
\end{eqnarray*}

Et le reste, as before. Après cette seconde question qui est astucieuse mais sans difficulté majeure, on arrive au point clef de l'exercice, c'est à dire les questions trois et quatre.

Et alors l'affaire consiste à savoir, ou non, que dans un espace vectoriel normé, la distance entre un point et un hyperplan s'écrit $$d(\ker \phi
,P)=\frac {\phi(P)}{||\phi||}$$ la double barre indiquant la norme subordonnée (norme d'opérateur).

Cordialement, Pierre.