Simplification de polynômes
Bonjour !!
Je suis un tout jeune prof. de math qui reprend le cours d'un prédécesseur. Lors de ma préparation, je tombe sur cet exercice :
(x+4)(x²-25)=(x+3)(x²-25)
Pour le résoudre, je place tout dans l'opérande de gauche en mettant en évidence le (x²-25) :
(x²-25)(x+4-x-3) = 0
x²-25 = 0 ==> x = +-5
Au cours aujourd'hui, mes étudiants ont utilisé une autre approche, ils simplifient le (x²-25) avant de résoudre l'équation :
(x+4)(x²-25)=(x+3)(x²-25)
x+4 = x+3
4=3 ==> équation impossible
Les deux manières me semblent correctes mais les solutions sont différentes !! J'y réfléchis depuis des heures et je ne trouve pas où est l'erreur. Quelqu'un peut-il abréger mes souffrances svp ?
Je suis un tout jeune prof. de math qui reprend le cours d'un prédécesseur. Lors de ma préparation, je tombe sur cet exercice :
(x+4)(x²-25)=(x+3)(x²-25)
Pour le résoudre, je place tout dans l'opérande de gauche en mettant en évidence le (x²-25) :
(x²-25)(x+4-x-3) = 0
x²-25 = 0 ==> x = +-5
Au cours aujourd'hui, mes étudiants ont utilisé une autre approche, ils simplifient le (x²-25) avant de résoudre l'équation :
(x+4)(x²-25)=(x+3)(x²-25)
x+4 = x+3
4=3 ==> équation impossible
Les deux manières me semblent correctes mais les solutions sont différentes !! J'y réfléchis depuis des heures et je ne trouve pas où est l'erreur. Quelqu'un peut-il abréger mes souffrances svp ?
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Réponses
Edit : trop lent :-)
C'est ce que font tes élèves en ne supposant pas que x n'est pas égal à 5 , à -5.
J'avais cet autre exercice :
1/(x*(x+1)) - x²/(x+1) + x²-1/x = (x-1)/((3x-2)*(x+1))
Après avoir mis l'opérande de gauche au même dénominateur, j'obtiens :
(x*(x-1))/(x*(x+1)) = (x-1)/((3x-2)*(x+1))
J'avais tout simplifier les x, les x+1 et les x-1 pour me retrouver avec
1 = 1/(3x-2) ==> 3x-2 = 1 ==> x = 1
Si je consulte un cours d'enseignement mathématique disponible ici :
http://www.etsmtl.com/Departements/Enseignements-generaux/Soutien-pedagogique/CHAP2.pdf
C'est le genre d'opération qu'ils font pour simplifier des fractions (exemple 2-3.1). Je ne comprend pas pourquoi dans certain cas, cela semble permis et dans d'autres non
- soit $a$ appartient à un corps et on multiple par l'inverse de $a$ — ce qui est impossible si $a=0$ évidemment, puisque $0$ est absorbant pour la multiplication ;
- soit on regroupe tout dans un même membre et on écrit $a(b-c)=0$, puis on espère pouvoir appliquer le fait qu'un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul, ce qui donne : $a=0$ ou $b=c$ ; si on ne sait pas écarter le cas $a=0$, on ne peut pas conclure que $b=c$.
Autrement dit, quelle que soit la justification, si $a=0$, on ne peut rien conclure. C'est bien normal puisqu'alors l'hypothèse est $0=0$...(3x+6)/(x²-4) = 3*(x+2)/((x+2)*(x-2)) = 3/(x-2)
où ils ont donc simplifier x+2 par x+2, ce que veulent faire mes étudiants dans mon exercice de base avec le terme x²-25. Hors, comme le disent les premières réponses, x+2 pourraient très bien valoir 0, ce qui rend cette simplification impossible. Pourquoi le font-ils ? Pourquoi mes étudiants ne peuvent-ils pas le faire ?
Dans ton exemple on divise déjà par $x^2-4$. Donc $x$ est forcément différent de $2$ et $-2$. Donc on peut ensuite simplifier par $x+2$.
En maths il faut quantifier, toujours ! C'est quoi $x$ ? Un nombre réel quelconque ? Certainement pas, sinon (3x+6)/(x²-4) n'a pas de sens.
Le bon énoncé c'est : soit $x$ un nombre réel différent de $2$ et $-2$, simplifier (3x+6)/(x²-4). Si on ne précise pas que x est différent de 2 et -2 alors l'énoncé n'a même pas de sens.
J'en rajoute une couche. Qu'on cherche à simplifier une fraction rationnelle ou à trouver les racines d'un polynôme il n'y a pas de règle magique nouvelle qui s'appliquerait. Ce sont toujours des nombres réels que tu manipules, on n'a toujours pas le droit de diviser par 0. On dirait que tu raisonnes par méthodes toutes faites, sans comprendre, au lieu d'appliquer des règles connues et démontrées. Et tu ne quantifies pas correctement tes énoncés, ça joue toujours des tours.