Polynômes de Legendre
Bonjour,
Je suis actuellement en train d'étudier les polynômes de Legendre au travers d'un exercice.
Je rappel une définition des polynômes de Legendre :
$\forall (n,x) \in \mathbb{N}\times\mathbb{R} \ \ \ L_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d} (x^2-1)^n}{\mathrm{d}x}$
J'ai pu montré un certain de nombre de résultat, comme le fait que ces polynômes sont orthogonaux pour le produit scalaire $\phi : (u,v) \rightarrow \int_{-1}^{1} u(x)v(x)dx$ où u,v sont C infini sur [-1,1].
Aussi, que ces polynômes ont n racines distinctes dans [-1,1] (n désignant le degré d'un polynôme de legendre).
Leurs parité suit celle de leurs degré.
Et une relation de récurrence :
$L_0 =1$
$L_1=x$
$\forall (n,x) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{R} \ \ \ (n+1) L_{n+1}(x) = (2n+1)xL_n(x) - nL_{n-1}(x)$
Mais on demande d'écrire ces relations de récurrence sous forme matricielle, et je n'y arrive pas :
Etant donné $u = [L_0 , L_1 .... L_{n-1} ]^{T}$
On demande de déterminer M matrice carré et constante par rapport à x, de format n, puis v vecteur de $\mathbb{R}^n$ dépendant de x tel que Mu = xu + v
J'ai essayé de tatonner au brouillon mais je n'y arrive vraiment pas, même avec de petits format :
$M = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}$
J'obtiens un système du type :
$a L_0 + bL_1 = xL_0 + v_0(x)$
$c L_0 + dL_1 = xL_1 + v_1(x)$
Connaissant $L_0$ et $L_1$ , je peux déduire la forme des $v_i(x)$ mais rien de plus :
$v_0(x) = a + (b-1)x$
$v_1(x) = c + dx - x^2$
Peut être on sent que $v_i$ est un polynôme de degré au plus (i+1)
C'est tout ce que je peux dire..
Quelqu'un aurait une idée ?
Merci d'avance
Je suis actuellement en train d'étudier les polynômes de Legendre au travers d'un exercice.
Je rappel une définition des polynômes de Legendre :
$\forall (n,x) \in \mathbb{N}\times\mathbb{R} \ \ \ L_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d} (x^2-1)^n}{\mathrm{d}x}$
J'ai pu montré un certain de nombre de résultat, comme le fait que ces polynômes sont orthogonaux pour le produit scalaire $\phi : (u,v) \rightarrow \int_{-1}^{1} u(x)v(x)dx$ où u,v sont C infini sur [-1,1].
Aussi, que ces polynômes ont n racines distinctes dans [-1,1] (n désignant le degré d'un polynôme de legendre).
Leurs parité suit celle de leurs degré.
Et une relation de récurrence :
$L_0 =1$
$L_1=x$
$\forall (n,x) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{R} \ \ \ (n+1) L_{n+1}(x) = (2n+1)xL_n(x) - nL_{n-1}(x)$
Mais on demande d'écrire ces relations de récurrence sous forme matricielle, et je n'y arrive pas :
Etant donné $u = [L_0 , L_1 .... L_{n-1} ]^{T}$
On demande de déterminer M matrice carré et constante par rapport à x, de format n, puis v vecteur de $\mathbb{R}^n$ dépendant de x tel que Mu = xu + v
J'ai essayé de tatonner au brouillon mais je n'y arrive vraiment pas, même avec de petits format :
$M = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}$
J'obtiens un système du type :
$a L_0 + bL_1 = xL_0 + v_0(x)$
$c L_0 + dL_1 = xL_1 + v_1(x)$
Connaissant $L_0$ et $L_1$ , je peux déduire la forme des $v_i(x)$ mais rien de plus :
$v_0(x) = a + (b-1)x$
$v_1(x) = c + dx - x^2$
Peut être on sent que $v_i$ est un polynôme de degré au plus (i+1)
C'est tout ce que je peux dire..
Quelqu'un aurait une idée ?
Merci d'avance
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Réponses
J'obtiens :
$c_n = \frac{-n}{n+1}$
$d_n = \frac{2n+1}{n+1}x$
D'où
$V_{n+1} = \begin{bmatrix}
0 & 1\\
-\frac{n}{n+1} & \frac{2n+1}{n+1}x
\end{bmatrix} V_n$
Mais à quoi me sert d'avoir une telle relation ? Du moins, comment obtenir Mu = xu + v ?
Sasuke96, je soupçonne quelque chose, mais c'est de bonne guerre.
Cordialement,
Rescassol
Je donnerai une réponse pour les curieux ce soir, là, je suis un peu fatigué, et il y a du calcul à écrire