Extension de R prolongeant la valeur absolue

@Mililine: C'est l'application directe des définitions.

Je vois que je n'ai traité que le cas où $K$ est une extension de $\C$.
Et si $K$ est une extension de $\R$ seulement?

Dans la suite,(afin dêtre sûr qu'on parle bien de la même chose) $\R \subseteq K$ et $|\cdot|_K:K\to \R$ est une application telle que
(i) La restriction de $|\cdot|_K$ à $\R$ est la valeur absolue usuelle.
(ii) Pour tout $x\in K$, $|x|_K\geq 0$ et $|x|_K=0$ si et seulement si $x=0$.
(iii) Pour tous $x,y\in K$, $|x+y|_K\leq |x_K+|y|_K$
(iv) Pour tous $x,y\in K$, $|xy|_K= |x|_K\cdot |y|_K$.



On va distinguer deux cas.

1°) si $X^2+1$ possède une racine dans $K$ (notons là "$i$").Alors $\left| \cdot \right|_K$ est la valeur absolue usuelle sur $\R [ i ] \simeq \C$ et on est ramené au cas que j'ai traité il y a plusieurs jours
(On a $|i|_K^2 =|i^2|_K =|1|_K=1$ donc $\left|i\right|_K=1$. Soient $a,b\in \R$ non nuls. Alors par inégalité triangulaire , $\left|a+bi\right|_K\leq \left| a\right|_K+\left| bi\right|_K = |a| + |b|$.
Ceci entraîne que si $(x_n)_{n\in \N}$ est une suite de $\R [ i ] \simeq \C$ bornée pour la valeur usuelle de $\C$, elle est aussi bornée pour $\left| \cdot\right|_K$. Notamment, si $z\in \C$ (on fait désormais l'identification entre $\C$ et $\R [ i ]$ pour éviter les lourdeurs rédactionnelles) est tel que $\left| z \right| \leq 1$, on a aussi $\left| z \right|_K\leq 1$ (parce qu'alors $(z^n)_{n\in \N}$ est une suite bornée pour $\left| \cdot \right|$ donc pour $\left| \cdot \right|_K$ et $\left|z^n\right|_K=\left|z\right|_K^n$ pour tout $n\in \N$).

De plus $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$ et donc $\left|a-bi\right|_K \cdot \left| a+bi\right|_K=|a^2+b^2|=a^2+b^2$ et donc $\left| \frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|_K \cdot \left| \frac{a-bi}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|_K=1$). Or les deux membres de ce produits sont de module complexe 1°, donc par la remarque précédente, de valeur absolue $\left| \cdot\right|_K$ inférieure ou égale à $1$. Donc $\left| \frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|_K=\left| \frac{a-bi}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|_K=1$ et par suite $\left| a+bi\right|_K=\sqrt{a^2+b^2}$. CQFD).


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2°) Si $X^2+1$ ne possède pas de racine dans $K$, il suffit de montrer que $\left| \cdot \right|_K$ se prolonge à $L:=K [ i ] :=K[X]/X^2+1$.

Bah il suffit de poser, pour tous $a,b\in K$, $\left|a+bi\right|_L:= \sqrt{\left|a^2 \right|_K+\left|b^2\right|_K}$ et de montrer que cette fonction vérifie les axiomes (i) à (iv) (exo: c'est exactement comme dans le cas complexe classique et il faut l'avoir fait au moins une fois dans sa vie).

Donc on est à nouveau ramené au cas précédent puisqu'alors $K[X]/X^2+1\simeq \C$.

J'en ai souvent parlé sur le forum de ce théorème de GM, en évoquant qu'alors "le corps des grandeurs du monde" n'est pas valuable.