isomorphisme
Bnjour, merci de m'aider à résoudre le problème suivant:
Soit $H<G$. Un automorphisme de $G-$ensemble de $G/H$est en bijection equivariante de l'ensemble à lui même. L'automorphisme de $G/H$ d'un groupe muni de la loi de composition, et on note ce groupe par $Aut_G(G/H)$.
Montrer que $Aut_G(G/H)$ est isomorphe à$N_G(H)/H$.
Voila ce que j'ai écrit:
On note que pour tout $\phi\in \mathrm{Aut}(G/H)$ on a $\phi(xH)=x\phi(H)$. Supposons que $\phi(H)=gH$, on note $\phi=\phi_g$. Je veux prouver les points suivants:
1. $\phi_g\in \mathrm{Aut}(G/H)$ si et seulement si $g\in N_G(H)=\{g\in G :H^g=H \}$.
2. l'application $\Phi:N_G(H)\to \mathrm{Aut}(G/H)$, $g\mapsto\phi_g$est un homomorphisme surjective.
3. $\ker\Phi=H$.
Soit $H<G$. Un automorphisme de $G-$ensemble de $G/H$est en bijection equivariante de l'ensemble à lui même. L'automorphisme de $G/H$ d'un groupe muni de la loi de composition, et on note ce groupe par $Aut_G(G/H)$.
Montrer que $Aut_G(G/H)$ est isomorphe à$N_G(H)/H$.
Voila ce que j'ai écrit:
On note que pour tout $\phi\in \mathrm{Aut}(G/H)$ on a $\phi(xH)=x\phi(H)$. Supposons que $\phi(H)=gH$, on note $\phi=\phi_g$. Je veux prouver les points suivants:
1. $\phi_g\in \mathrm{Aut}(G/H)$ si et seulement si $g\in N_G(H)=\{g\in G :H^g=H \}$.
2. l'application $\Phi:N_G(H)\to \mathrm{Aut}(G/H)$, $g\mapsto\phi_g$est un homomorphisme surjective.
3. $\ker\Phi=H$.
Réponses
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Merci de poser la question en français, sinon on ne t'aidera pas.
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Bonsoir,
Je risque de modifier l'énoncé si je traduit en français :-( -
Ton anglais est déjà bourré de fautes, je pense qu'on n'est pas à ça près... Si tu ne veux pas traduire ta question, je pense qu'on peut autant fermer le fil.
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Je vais essayé
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J'ai traduit.
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Dans ton 1), tu pars d'un élément de $Aut_G(G/H)$ et tu veux montrer qu'il est dans $Aut_G(G/H)$ si et seulement quelque chose ? Je pense que tu rédiges très mal ce que tu veux dire.
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$N_G(H)=\{g\in G :H^g=H \}$
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Je ne demande pas ce qu'est $N_G(H)$, je sais ce que c'est. Je te dis que soit tu ne définis pas ce que tu appelles $\varphi_g$, soit ta question 1) n'a pas de sens.
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J'ai noté $\phi=\phi_g$
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Mais bon sang lis mes messages ! Ton $\phi$ est dans $Aut(G/H)$ et tu veux montrer "$\phi \in Aut(G/H)$ si et seulement si...".
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vous avez raison, comment faire alors, l'idée est d’appliquer le théorème d'isomorphisme avec une application surjective
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Tu as un problème de base au niveau du raisonnement mathématique et en plus tu rédiges mal donc on ne comprend pas ce que tu fais. Ce que je pense que tu veux montrer c'est que si $\phi$ est une bijection de $G/H$ dans lui-même, alors en notant $\phi(H)=g H$ pour un certain $g \in G$, on a $$\phi \in Aut_G(G/H) \Leftrightarrow g \in N_G(H),$$ c'est bien ça ?
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Exactement, comment prouver cet équivalence?
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Sauf que c'est faux... Donc tu ne réfléchis même pas à ce que tu fais ! Si je prends une bijection quelconque de $G/H$ qui envoie $H$ sur $gH$ pour un certain $g \in N_G(H)$ il n'y aucune raison que $\phi$ soit $G$-équivariante !
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