matrice de passage

Bonjour;
Et merci d'avance pour toute réponse

ma question

je n'ai pas vu le résultat ci-dessous sur mon bouquin là
c'est bizarre car $f$ et $g$ sont différents...
enfin j'ai calculé ça pour sortir un peu de l'abstrait
c'est un théorème?

$E=\mathcal {M}_{3,1}(\mathbb {R})$ munis de sa structure d'espace vectoriel
$E*$ l'espace dual de $E$

$e=(e_1,e_2,e_3)=\begin {pmatrix}-1&1&2\\2&-1&1\\1&-1&1\end {pmatrix}$ une base de $E$

$\overline {e}=(\overline {e}_1,\overline {e}_2,\overline {e}_3)=\begin {pmatrix}-1&1&1\\2&1&-1\\1&1&-1\end {pmatrix}$ une base de $E$

$e^*=(e_1^*,e_2^*,e_3^*)=\begin {pmatrix}0&1&-1\\\frac {1}{3}&1&\frac {-5}{3}\\\frac {1}{3}&0&\frac {1}{3}\end {pmatrix}$ la base duale de $e$

$\overline {e}^*=(\overline {e}_1^*,\overline {e}_2^*,\overline {e}_3^*)=\begin {pmatrix}0&1&-1\\\frac {1}{2}&0&\frac {1}{2}\\\frac {1}{2}&1&\frac {-3}{2}\end {pmatrix}$ la base duale de $\overline {e}$

$mat_e(f)=\begin {pmatrix}-1&1&1\\2&-2&-1\\2&2&-1\end {pmatrix}$ la matrice d'une application linéaire $f\in \mathcal {L}(E)$ dans la base $e$
$mat_{e*}(g)=\begin {pmatrix}-1&1&2\\2&-2&-1\\2&2&-2\end {pmatrix}$ la matrice d'une application linéaire $g\in \mathcal {L}(E*)$ dans la base $e^*$

$mat_{\overline {e}}(f)=\begin {pmatrix}-1&\frac {1}{3}&1\\3&-2&3\\3&\frac {-2}{3}&-1\end {pmatrix}$ la matrice de $f $ dans la base $\overline {e}$
$mat_{\overline {e}*}(g)=\begin {pmatrix}-1&3&2\\\frac {2}{3}&\frac {-3}{2}&\frac {3}{2}\\2&\frac {-3}{2}&\frac {-5}{2}\end {pmatrix}$ la matrice de $g$ dans la base $\overline {e}^*$

ce qui est bizarre est là->

$P=\begin {pmatrix}1&0&0\\0&\frac {-1}{3}&1\\0&\frac {2}{3}&0\end {pmatrix}$ la matrice de passage de $e$ vers $\overline {e}$
$(P^{-1})^t=\begin {pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&\frac {3}{2}&\frac {1}{2}\end {pmatrix}$ la matrice de passage de $e^*$ vers $\overline {e}^*$