Sommation par paquets
Bonjour ! J'aimerai comprendre quelque chose quant à un exercice sur les familles sommables.
Notons $ I = N^* \times N^* $ et $ I_n = \{(p,q) \in I\ |\ p+q=n \} $. On a que le cardinal de $I_n$ est $n-1$ puisqu'il existe $n-1$ couples $(p,q)$ tels que $p+q=n$.
Mais alors la sommabilité de la famille $ \displaystyle \left( \frac{1}{(p+q)^a} \right) $ équivaut à celle de $ ( \frac{n-1}{n^a} )$.
Ce raisonnement est-il juste : on a $p=n-q$. Alors $$ \sum_{(p,q) \in I_n} = \sum_{p+q=n} \frac{1}{(p+q)^a} = \sum_{p=1}^n \frac{1}{n^a} = \frac{n-1}{n^a} $$
D'ou le résultat puisqu'on somme ensuite sur $\mathbb{N}$.
Sinon, ou est l'erreur (de rédaction ou de compréhension).
Merci d'avance !
.
Notons $ I = N^* \times N^* $ et $ I_n = \{(p,q) \in I\ |\ p+q=n \} $. On a que le cardinal de $I_n$ est $n-1$ puisqu'il existe $n-1$ couples $(p,q)$ tels que $p+q=n$.
Mais alors la sommabilité de la famille $ \displaystyle \left( \frac{1}{(p+q)^a} \right) $ équivaut à celle de $ ( \frac{n-1}{n^a} )$.
Ce raisonnement est-il juste : on a $p=n-q$. Alors $$ \sum_{(p,q) \in I_n} = \sum_{p+q=n} \frac{1}{(p+q)^a} = \sum_{p=1}^n \frac{1}{n^a} = \frac{n-1}{n^a} $$
D'ou le résultat puisqu'on somme ensuite sur $\mathbb{N}$.
Sinon, ou est l'erreur (de rédaction ou de compréhension).
Merci d'avance !
.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
(A moins que tu n'aies voulu écrire $I_n$ à la place de $I$)
Mais alors la méthode est-elle juste ?