Cardinal de $SL_2(\mathbb Z/n \mathbb Z)$

Poirot
Poirot
dans Algèbre
Bonjour à tous, je cherche à démontrer que pour $n \in \mathbb N, n \geq 2$, $$|SL_2(\mathbb Z/n \mathbb Z)| = n J_2(n)$$ où $J_2$ est le second "totient" de Jordan, qui vaut le nombre de couples d'entiers $(a,b)$ dans $\{1, \dots, n-1\}$ tels que $a,b$ et $n$ sont premiers entre eux (pas nécessairement deux à deux), qui vaut également $$n^2 \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right).$$ Je n'ai pas trouvé de référence sur internet, à part le résultat.

J'ai essayé de réfléchir en terme d'action de groupes ou de théorème d'isomorphisme mais ça ne semble mener à rien (à part que $SL_2(\mathbb Z/n \mathbb Z)$ est d'indice $\varphi(n)$ dans $GL_2(\mathbb Z/n \mathbb Z)$). Sinon j'ai pensé à identifier $SL_2(\mathbb Z/n \mathbb Z)$ avec $$\{(a,b,c,d) \in \left(\mathbb Z/n \mathbb Z\right)^4, ad-bc=1\}.$$ Je vois clairement le lien avec $J_2(n)$ car la condition $ad-bc=1$ se traduit par $ad-bc+kn=1$ pour un certain $k \in \mathbb Z$, ce qui constitue une relation de Bezout entre les entiers $a, b$ et $n$, mais je n'arrive pas non plus à conclure.

Ensuite si quelqu'un a une démonstration pour la formule générale de $|SL_m(\mathbb Z/n \mathbb Z)|$ je suis aussi preneur. Merci d'avance pour toute idée.

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    Pour tout matrice $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2 \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)$, on a $(c,d,n)=1$ et pour une ligne inférieure $(c,d)$ donnée, il y a exactement $n$ solutions $(a,b)$ à la congruence $ad-bc \equiv 1 \pmod n$. Ainsi
    $$\left | SL_2 \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right) \right | = n \times \left | \left \{ (c,d) \pmod n : (c,d,n)=1 \right \} \right | = n \sum_{\delta \mid n} \mu(\delta) \left( \frac{n}{\delta} \right)^2 = n J_2(n).$$

    Référence. H. Iwaniek, Topics in Classical Automorphic Forms, AMS Vol. 17, 1994, page 34.
  • Poirot
    Poirot
    Merci noix de totos ! C'est très clair comme ça.

    Sais-tu comment on démontre la formule générale pour $|SL_m(\mathbb Z/n \mathbb Z)|$ qui fait intervenir les "totients" d'ordres supérieurs ?
  • noix de totos
    noix de totos
    Tu as

    \begin{eqnarray*}
    \left | GL_m \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right) \right | & = & n^{m(m-1)/2} \prod_{k=1}^m J_k(n) \\
    \left | SL_m \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right) \right | & = & n^{m(m-1)/2} \prod_{k=2}^m J_k(n) \\
    \left | Sp_{2m} \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right) \right | & = & n^{m^2} \prod_{k=1}^m J_{2k}(n) \\
    \end{eqnarray*}
    le dernier groupe étant le groupe symplectique. Je pense que tu peux trouver les deux premières dans [1] et la troisième dans [2].

    Références.

    [1] C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Gauthiers-Villers, Paris, 1957 (peut-être dispo sur Gallica).

    [2] J. Schulte, Uber die Jordansche Verallgemeinerung der Eulerschen Funktion, Resultate der Mathematik 36 (1999), 354--364.
  • flipflop
    flipflop
    Salut Poirot,

    Je ne sais pas si c'est lisible mais tu peux regarder ici.

    Je n'ai pas le temps aujourd'hui de refaire au propre, la semaine prochaine ;)
  • Poirot
    Poirot
    Merci flipflop, j'avais pensé à chinoiser mais ça ne me semblait pas plus simple dans les $\mathbb Z/p^{\alpha} \mathbb Z$.

    Merci pour les références noix de totos.
  • flipflop
    flipflop
    En fait, l'idée avec $R = \Z /p^\alpha \Z$ c'est de quotienter par l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $R$ (les multiples de $p$) pour récupérer la situation sur un corps fini (où là, c'est plus simple). Pour $\text{GL}_2$, tu considères : $\text{GL}_2(R) \to \text{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ et tu regardes le noyau, c'est-à-dire tu regardes $ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{GL}_2(R)$ dont la réduction (coefficients par coefficients) donne $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Là tu trouves : $a \in 1 + \mathfrak{m}$, $b \in \mathfrak{m}$ etc. qui permet de dire que le cardinal du noyau est $\# \mathfrak{m}^4$, et on sait que $\# \mathfrak{m} = p^\alpha - p^{\alpha-1}$.

    Une fois le travail fait pour $\text{GL}_2$, on récupère $\text{SL}_2$ à l'aide du déterminant.

    Sorry c'est un peu rapidos mais c'est juste l'idée.
  • flipflop
    flipflop
    Sinon curiosité, pourquoi tu as besoin de ce résultat ? Je veux dire dans quelle contexte tu dois t'en servir ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui j'ai bien compris la démo :-) Il me reste à me convaincre que le groupe linéaire modulo $n$ est isomorphe au produit des groupes linéaires modulo les $p^{\alpha}$.

    Je lis un peu de formes modulaires ces temps-ci, et ce cardinal est exactement l'indice du sous-groupe de congruence $\Gamma(n)$ de niveau $n$. Enfin tu dois connaître tout ça ;-)
  • flipflop
    flipflop
    Ah, j'avais vu juste pour les formes modulaires :)

    Non, non je ne connais pas super bien, disons que je dois tout reprendre de manière ultra sérieuse. Je pense que c'est des objets vraiment complexes niveau arithmétique. En regardant bien on doit voir des formes quadratiques, des courbes elliptiques et des anneaux d'entiers quadratiques et des choses concernant les corps de classes des extensions quadratiques (imaginaires). Claude appelle ça le monde de la fumette, l'expression doit provenir du livre de Godement, "le jardin des délices modulaires ou l'opium du mathématicien" :-D Have fun !
  • flipflop
    flipflop
    @Poirot : Pour l'histoire des produits. En fait, on va dire qu'on veut prouver que pour tous anneaux $A$ et $B$ (commutatif, unitaire en notant $G := \text{GL}_n$) : $G(A \times B) \simeq G(A) \times G(B)$.
    Edit : (j'ai refais car grosse erreur).

    Mais pour tout anneau : $G(A) = \text{Hom} (Z [ \underline{X} , Y ] / (\text{Det} \times Y- 1), A)$ où $\text{Det}$ c'est le polynôme avec comme variable $\underline{X}$. Je note pour simplifier : $P = \text{Det} \times Y- 1 \in \Z[ \underline{X},Y]$.

    Il s'agit de prouver que :
    $$
    \text{Hom} (Z [ \underline{X} , Y ] / (P), A \times B) \simeq \text{Hom} (Z [ \underline{X} , Y ] / (P), A) \times \text{Hom} (Z [ \underline{X} , Y ] / (P), B)
    $$
    Du coup, si on fait un peu le ménage, on peut proposer un truc du style :
    Soit $\text{X}$ un ensemble fini d'indéterminée et $P \in \Z[ \text{X} ]$ un polynôme. Est-ce que pour tout anneau $A$ et $B$ on a :
    $$
    \text{Hom} (Z [ \text{X}] / (P), A \times B) \simeq \text{Hom} (Z [ \text{X}] / (P), A) \times \text{Hom} (Z [ \text{X} , Y ] / (P), B)
    $$
    Je délire ?

    Je me réponds, oui je délire. Pour tout anneau $A$, $G(A) = \text{Hom} (Z [ \underline{X} , Y ] / (\text{Det} \times Y- 1), A)$. C'est pas bon de faire des maths le dimanche matin :)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    De façon terre à terre : se donner une matrice à coefficients des couples d'un élément de $A$ et d'un élément de $B$, c'est kif-kif se donner un couple de matrices à coefficients dans $A$ et dans $B$ respectivement.
  • Poirot
    Poirot
    @flipflop : tu vas un peu trop loin pour moi. J'avais plutôt trouvé en considérant simplement le morphisme chinois qui s'étend facilement à $\mathcal M_2(\mathbb Z/n \mathbb Z)$. Comme le déterminant est un polynôme et notre isomorphisme est un isomorphisme d'anneaux, on a la nullité du déterminant si et seulement si...
  • flipflop
    flipflop
    Sorry Poirot, en fait j'essaye de dégager un truc un peu général.
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