valeur singulière minimale

yoyolesmath · September 2017

Bonjour,

Je suis tombé dans un document sur la petite propriété, suivante, écrite entre parenthèses dans un papier de recherche, et je n'ai pas été capable de trouver d'où elle peut provenir.

Le contexte est le suivant :

On suppose que l'on a une matrice A nxn diagonale par blocs d'au plus 2x2. Chaque bloc 2x2 est une rotation suivant un angle unique et inconnu.

Il est écrit " ( étant donné que sigmaMin(I+A) >= 1 - ||A|| )" comme si c'était quelque chose d'évident.
SigmaMin(A) correspond bien sur a la plus petite valeur singulière de A
La norme matricielle ||A|| correspond à la norme induite par la norme 2 sur l'espace des vecteurs de Rn, c'est à dire la norme spectrale

Merci d'avance

P. · September 2017

Bizarre. Les valeurs singulieres de $I_2+R(t)$ ou $R(t)$ est la matrice de rotation d'angle $t$ sont $2\left|\cos \frac{t}{2}\right|$ et $2\left|\sin \frac{t}{2}\right|.$ Quant a la norme 2 d'une rotation c'est un.

yoyolesmath · September 2017

Salut,
Merci pour la réponse, j'ai un peu planché dessus, ca m'a permit d'avoir les idées un peu plus claires.
J'ai fini par trouver la solution :
- soit t une valeur singulière de (I+A)
Alors il existe Xo, Yo, normés tels que :
tXo = (I+A)Yo
On passe a la norme 2 et on applique l'inégalité triangulaire inversée :
|t| = |Yo + AYo | >= |Yo| - |A Yo|
Or |A Yo| <= |A||Yo|
et |Yo| = 1
Du coup :
|t| >= 1 - |A|

Ceci, pour toute valeur singulière, en particulier pour la plus petite.

valeur singulière minimale

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