Epimorphisme et surjectivité (groupes)
dans Algèbre
Bonjour
Je viens vous demander un peu d'aide pour l'exercice suivant:
Soit $G$ et $G'$ deux groupes. Et $f$ un morphisme de groupes de $G$ dans $G'$
On dit que $f$ est un épimorphisme si pour tout groupe $G''$ la propriété suivante est vérifiée:
Pour tout $u$ et $v$ morphismes de groupes de $G'$ dans $G''$, si $u \circ f = v \circ f$ alors $u=v$
Il s'agit de montrer l'équivalence: $f$ surjective si et seulement si $f$ est un épimorphisme.
Si $f$ est surjective, je n'ai pas eu de mal à montrer que $f$ est un épimorphisme.
Cependant pour la réciproque, j'ai trouvé une preuve dans le Calais "Éléments de théorie des groupes", que j'ai comprise mais que je trouve un peu longue.
C'est pourquoi je viens ici pour vous demander si vous en connaîtriez une preuve courte/élégante pour le sens qui m'intéresse, c'est à dire: Si $f$ est un épimorphisme alors $f$ est surjective.
Bien cordialement,
En vous remerciant par avance.
Je viens vous demander un peu d'aide pour l'exercice suivant:
Soit $G$ et $G'$ deux groupes. Et $f$ un morphisme de groupes de $G$ dans $G'$
On dit que $f$ est un épimorphisme si pour tout groupe $G''$ la propriété suivante est vérifiée:
Pour tout $u$ et $v$ morphismes de groupes de $G'$ dans $G''$, si $u \circ f = v \circ f$ alors $u=v$
Il s'agit de montrer l'équivalence: $f$ surjective si et seulement si $f$ est un épimorphisme.
Si $f$ est surjective, je n'ai pas eu de mal à montrer que $f$ est un épimorphisme.
Cependant pour la réciproque, j'ai trouvé une preuve dans le Calais "Éléments de théorie des groupes", que j'ai comprise mais que je trouve un peu longue.
C'est pourquoi je viens ici pour vous demander si vous en connaîtriez une preuve courte/élégante pour le sens qui m'intéresse, c'est à dire: Si $f$ est un épimorphisme alors $f$ est surjective.
Bien cordialement,
En vous remerciant par avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Cependant, il me semble que la preuve de pea suppose que un des trois groupes que j'appelle $G$, $G'$ ou $G''$ est un sous-groupe d'un autre non? Chose que l'on ne suppose pas forcément dans l'énoncé.
Il/elle regarde donc quand $H$ est un sous-groupe propre de $K$ (qui joue le rôle de $Im(f)$) s'il est possible qu'on ait cette propriété. Il/elle observe que non, car il/elle est capable de construire, pour tout sous-groupe propre de $K$ deux morphismes qui coïncident sur ledit sous-groupe propre, mais qui diffèrent sur $K$.
En l'occurrence, si son exemple marche, c'est parce que pour $h\in H$, $hH= H$ donc $v(h)(H)= su(g)s(H)= su(g)(\star)= s(\star)= H = hH= u(h)(H)$, $v(h)(\star)= \star = u(h)(\star)$ et pour $g\notin H$, $v(h)(gH)= su(h)(gH)= s(hgH) = hgH$ car $hg \notin H$, donc $v(h)(gH)= hgH= u(h)(gH)$, de sorte que $u(h)=v(h)$, et donc $u, v$ coïncident sur $H$, mais clairement pas sur $G$ ($v(g)(H)= H$ et $u(g)(H) = gH \neq H$ si $g\notin H$).
(D'ailleurs @Pea si tu pouvais m'indiquer comment t'es venu l'idée de cette preuve, je suis preneur :-D)
Je vous remercie tous pour votre aide.
Bien cordialement