Existence d'une valeur propre (complexe)

Je réponds à ma propre question (je n'avais pas suffisamment réfléchi, désolé!), pour ceux qui seraient intéressés de connaître une explication.

La famille $(I_n,A,A^2,\dots,A^{n^2})$ étant liée dans $\mathcal M_n(\C)$ (nombre de vecteurs > dimension), ceci prouve l'existence d'un polynôme annulateur (de degré $n^2$), scindé par le théorème de d'Alembert-Gauss : $P(A)=0=\prod_{i=1}^{n^2} (A-\alpha_i I_n)$.
Au moins l'une des matrices $A-\alpha_i I_n$ est non-inversible (le produit de matrices inversibles est inversible).

Merci à tous pour vos réponses.

Pourquoi est-ce abusif Rakam ? Je n'utilise dans ma réponse que des connaissances de bases en algèbre linéaire et le théorème fondamental de l'algèbre.
Les polynômes caractéristique/minimal m'auraient demandé d'utiliser des choses plus techniques (Cayley-Hamilton ou propriété d'anneau principal pour justifier de l'existence de $\Pi_A$...).