Suite par récurrence

bonsoir

tu peux décroiser les suites, tu trouves en particulier : $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{u_n}$ avec $u_0 = 2$

tu calcules les points fixes $\alpha$
c'est-à-dire les valeurs de $u_0$ qui rendraient stationnaire la suite (u)
tu trouves $\alpha = \sqrt{2}$ et $\alpha = - \sqrt{2}$

tu explicites le rapport : $\frac{u_{n+1} - \sqrt{2}}{u_{n+1} + \sqrt{2}} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{(u_n + \sqrt{2})^2}$

tu descends la récurrence jusqu'à la valeur 0 de n tu trouves :
$$\frac{u_{n+1} - \sqrt{2}}{u_{n+1} + \sqrt{2}}=\frac{(u_0 - \sqrt{2})^{2^{n+1}}}{(u_0 + \sqrt{2})^{2^{n+1}}}$$ soit encore :

$$u_n = \sqrt{2}\frac{1 + (3 - 2\sqrt{2})^{2^n}}{1 - (3-2\sqrt{2})^{2^n}}$$ et tu en déduis $v_n$

l'encadrement de $u_n$ et celui de $v_n$ s'en déduisent (tu n'as pas utilisé le raisonnement par récurrence)
et les limites aussi soit $\sqrt{2}$ pour $u$ et $v$ (u par valeurs supérieures et v par valeurs inférieures à la limite)

cordialement