Formule de Faulhaber
Réponses
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Tu pourrais donner l'énoncé en entier, pour nous dire ce qu'est $S_p$. On s'en doute un peu, mais ce serait plus correct de questionner covenablement.
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Désolé, je n'ai pas pensé à mettre le sujet en entier.
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Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour faire un exercice concernant la formule de Faulhaber.
Je n'ai pas vraiment de piste à donner car je ne sais pas comment commencer.
Merci de bien vouloir m'aider ou de me mettre sur la voie.
[Merci de rester dans le fil que tu avais déjà créé. Poirot] -
Il manque le début de l'exercice et j'ai la flemme d'ouvrir un onglet Google.
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Par où commencer ? Par dire ce qu'est $S_p(n)$ peut-être ? Bon, Wikipedia m'a renseigné.
Sauf erreur, on cherche donc $S_p(n-1)=\sum_{k=1}^{n-1}k^p$. Si on lit la ligne juste au-dessus de la question, on voit $px^{p-1}$. On est donc tenté de remplacer $x$ par $k$ et de sommer sur $k$. Mais juste avant, il semble prudent de remplacer $p$ par $p+1$ pour obtenir :
\[(p+1)k^p=B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(x),\]
ce qui est prometteur parce que 1) après sommation, on aura un $p+1$ en facteur qui donnera le $1/(p+1)$ de la formule souhaitée et 2) on reconnaît dans la somme des $B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)$ une somme télescopique :
\[\sum_{k=1}^n\bigl(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)\bigr)=\underbrace{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(n)}_{k=n}+\underbrace{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(n-1)}_{k=n-1}+\cdots+
\underbrace{B_{p+1}(3)-B_{p+1}(2)}_{k=2}+\underbrace{B_{p+1}(2)-B_{p+1}(1)}_{k=1}.\]
Plus formellement:
\[\sum_{k=1}^n\bigl(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)\bigr)=\sum_{k=2}^{n+1}B_{p+1}(\ell)-\sum_{k=1}^nB_{p+1}(k)=\cdots.\] -
Merci beaucoup pour la réponse, il y a juste une chose que je ne comprend pas, c'est à quoi correspond le " l " à la dernière ligne dans la deuxième somme ?
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Bonjour!
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