Bonsoir, j'ai un petit soucis pour déduire la formule de Faulhaber.
Je ne vois pas trop comment commencer, j'ai essayé en utilisant la formule de la somme télescopique et d'autres manip qui n'ont pas fructueuses.
Merci de bien vouloir m'aider.
Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour faire un exercice concernant la formule de Faulhaber.
Je n'ai pas vraiment de piste à donner car je ne sais pas comment commencer.
Merci de bien vouloir m'aider ou de me mettre sur la voie.
[Merci de rester dans le fil que tu avais déjà créé. Poirot]
Par où commencer ? Par dire ce qu'est $S_p(n)$ peut-être ? Bon, Wikipedia m'a renseigné.
Sauf erreur, on cherche donc $S_p(n-1)=\sum_{k=1}^{n-1}k^p$. Si on lit la ligne juste au-dessus de la question, on voit $px^{p-1}$. On est donc tenté de remplacer $x$ par $k$ et de sommer sur $k$. Mais juste avant, il semble prudent de remplacer $p$ par $p+1$ pour obtenir :
\[(p+1)k^p=B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(x),\]
ce qui est prometteur parce que 1) après sommation, on aura un $p+1$ en facteur qui donnera le $1/(p+1)$ de la formule souhaitée et 2) on reconnaît dans la somme des $B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)$ une somme télescopique :
\[\sum_{k=1}^n\bigl(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)\bigr)=\underbrace{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(n)}_{k=n}+\underbrace{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(n-1)}_{k=n-1}+\cdots+
\underbrace{B_{p+1}(3)-B_{p+1}(2)}_{k=2}+\underbrace{B_{p+1}(2)-B_{p+1}(1)}_{k=1}.\]
Plus formellement:
\[\sum_{k=1}^n\bigl(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)\bigr)=\sum_{k=2}^{n+1}B_{p+1}(\ell)-\sum_{k=1}^nB_{p+1}(k)=\cdots.\]
Merci beaucoup pour la réponse, il y a juste une chose que je ne comprend pas, c'est à quoi correspond le " l " à la dernière ligne dans la deuxième somme ?
Réponses
Je n'ai pas vraiment de piste à donner car je ne sais pas comment commencer.
Merci de bien vouloir m'aider ou de me mettre sur la voie.
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Sauf erreur, on cherche donc $S_p(n-1)=\sum_{k=1}^{n-1}k^p$. Si on lit la ligne juste au-dessus de la question, on voit $px^{p-1}$. On est donc tenté de remplacer $x$ par $k$ et de sommer sur $k$. Mais juste avant, il semble prudent de remplacer $p$ par $p+1$ pour obtenir :
\[(p+1)k^p=B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(x),\]
ce qui est prometteur parce que 1) après sommation, on aura un $p+1$ en facteur qui donnera le $1/(p+1)$ de la formule souhaitée et 2) on reconnaît dans la somme des $B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)$ une somme télescopique :
\[\sum_{k=1}^n\bigl(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)\bigr)=\underbrace{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(n)}_{k=n}+\underbrace{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(n-1)}_{k=n-1}+\cdots+
\underbrace{B_{p+1}(3)-B_{p+1}(2)}_{k=2}+\underbrace{B_{p+1}(2)-B_{p+1}(1)}_{k=1}.\]
Plus formellement:
\[\sum_{k=1}^n\bigl(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k)\bigr)=\sum_{k=2}^{n+1}B_{p+1}(\ell)-\sum_{k=1}^nB_{p+1}(k)=\cdots.\]