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exercices sur les groupes

Envoyé par dllkevin 
exercices sur les groupes
l’an passé
Bonjour ,
j'ai un exercice sur les groupes quotients qui me bloquent ,

Énonce:
Soient A = {1,2,3} et le groupe (P(A),) , où est la loi différence symétrique.
1)Déterminer P(A)
2)Quels sont les cardinaux possibles des différents sous groupes de P(A)
3)montrer que H = {$\emptyset $,A} est un sous groupe de P(A)
4)Déterminer le groupe quotient $\frac{P(A)}{H}$
5)la table de sa loi quotient

Réponses
1)P(A) = {{$\emptyset $, {1}, {2}, {3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3} }
2) on a : 1,2,4,8
3) Je fais la table de Cayley et ... pas de problème à ce niveau
4) C'est à cette question que je bloque , je sais bien que grâce au théorème de Lagrange , le Card du groupe quotient est égale à 4 mais comment identifier ces 4 éléments

Merci d'avance pour votre aide
Re: exercices sur les groupes
l’an passé
Il faut comprendre que tu as une décomposition de la forme $$\mathcal P(A) = H \cup (P_1 \Delta H) \cup (P_2 \Delta H) \cup (P_3 \Delta H),$$ pour certains $P_i$ éléments de $\mathcal P(A)$, et où les unions sont disjointes.
Mais si $P \subset A$ alors $P \Delta H = \{P, A \setminus P\}$. Donc tu peux choisir $P_i=\{i\}$ pour $i \in \{1,2,3\}$. Ton ensemble quotient est alors $\{[H], [P_1], [P_2], [P_3]\}$, où $[P]$ désigne la classe d'équivalence de $P \in \mathcal P(A)$ pour la relation d'équivalence $P \sim Q$ qui veut dire que $P \Delta Q^{-1} \in H$.
.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: exercices sur les groupes
l’an passé
Poirot écrivait:
-------------------------------------------------------
> Il faut comprendre que tu as une décomposition de
> la forme $$\mathcal P(A) = H \cup (P_1 \Delta H)
> \cup (P_2 \Delta H) \cup (P_3 \Delta H),$$ pour
> certains $P_i$ éléments de $\mathcal P(A)$.
> Mais si $P \subset A$ alors $P \Delta H = \{P, A
> \setminus P\}$. Donc tu peux choisir $P_i=\{i\}$
> pour $i \in \{1,2,3\}$.

je ne comprend pas le lien avec le groupe quotient
Re: exercices sur les groupes
l’an passé
J'ai rajouté à la fin de mon message quel est l'ensemble quotient. Attention, en général le quotient par un sous-groupe n'est pas muni d'une structure naturelle de groupe.
Re: exercices sur les groupes
l’an passé
je comprend mieux , merci
Re: exercices sur les groupes
l’an passé
Tu comprends, je comprends, il comprend.
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