Groupe multiplicatif d'un anneau
Bonjour,
Encore moi, je viens de poster à peine un sujet et j'ai encore un autre exercice qui m'empêche de progresser dès la première question. Je me prépare pour un devoir. Par convention, je sais que $(G,\,\times)$ est appelé groupe multiplicatif et $(G,\,+)$ groupe additif. Mais je ne sais pas comment déterminer le groupe multiplicatif d'un anneau.
Enoncé
Soit l'anneau quotient $A=\frac{\Z}{4\Z}$.
1) Déterminer le groupe multiplicatif $\Bbb{U}(A)$ de $A$.
2) Déterminer tous les cardinaux possibles des sous groupes du groupe multiplicatif.
3) Déterminer tous les sous groupes du groupe multiplicatif.
Pouvez-vous m'aider ?
Ce serait sympas
Merci d'avance.
[Edit : Les balises utilisées ici sont différentes de celles utilisées dans l'île des Mathématiques... (T. P)]
Encore moi, je viens de poster à peine un sujet et j'ai encore un autre exercice qui m'empêche de progresser dès la première question. Je me prépare pour un devoir. Par convention, je sais que $(G,\,\times)$ est appelé groupe multiplicatif et $(G,\,+)$ groupe additif. Mais je ne sais pas comment déterminer le groupe multiplicatif d'un anneau.
Enoncé
Soit l'anneau quotient $A=\frac{\Z}{4\Z}$.
1) Déterminer le groupe multiplicatif $\Bbb{U}(A)$ de $A$.
2) Déterminer tous les cardinaux possibles des sous groupes du groupe multiplicatif.
3) Déterminer tous les sous groupes du groupe multiplicatif.
Pouvez-vous m'aider ?
Ce serait sympas
Merci d'avance.
[Edit : Les balises utilisées ici sont différentes de celles utilisées dans l'île des Mathématiques... (T. P)]
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Réponses
Ici, l'est pas ben gros ton anneau $A$, sans aucune théorie tu peux construire les tables de l'addition et de la multiplication, et voir tout de suite quel est le groupe $U(A)$, encore plus petit. Et ses sous-groupes, ...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1539202,1539206#msg-1539206
Je ne comprends pas vraiment qu'est-ce qu'un groupe multiplicatif ?
Et pourquoi j'ai besoin de faire la table d'addition du groupe ?
Dans ton cas, l'anneau est petit, tu peux donc chercher à la main quels sont les éléments inversibles.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1539202,1539206#msg-1539206
En utilisant la table de multiplication pour cet anneau
$\overline{3}\times \overline{3} = \overline{1}$
{ $\overline{1}$, $\overline{3}$ }
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Plus généralement, si tu as quelque petites connaissances en arithmétique tu peux déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb Z/n \mathbb Z$. Enfin avant ça, finis déjà ton exercice ! (:P)
3) sous groupes: devrais je me servir toujours de la table ?