Unique élément d'ordre 2

Pour $y\in G$, calculer $(y^{-1}xy)^2$.

Je ne comprenais pas son indication puisque l'unique élément d'ordre $2$ s'appelle $x$...

Sauf qu'ici $y^{-1}xy$ n'est pas si neutre dans l'histoire. ;-)

Espérons que blade ne se mélange pas les pinceaux entre $x$ et $y$. :-)

Bonsoir Blade
Maintenant que tu as obtenu ton résultat, on peut essayer de voir un peu plus loin.
D'abord l'hypothèse de l'unicité de l'élément d'ordre 2 pour qu'il soit dans le centre est très forte.
Une condition plus faible est que l'élément d'ordre 2 engendre un sous-groupe distingué. C'est d'ailleurs une condition nécessaire et suffisante.
Mais on peut aussi tenter de généraliser en considérant $p$ le plus petit premier divisant l'ordre de $G$ (dans le cas où $|G|$ est pair alors on retrouve $p=2$).
On arrive donc à ce qui suit.

Théorème Soit $G$ un groupe fini et $p$ le plus petit premier diviseur de $|G|$, soit $H$ un sous-groupe d'ordre $p$.
Alors $H$ est central si, et seulement s'il est distingué dans $G$.
En d'autres termes : $$H\lhd G ~\iff~ H\subset Z(G). $$

Démonstration. Faisons agir $G$ par conjugaison sur les éléments de $H$. L'action est bien définie car $H$ est distingué dans $G$. Les orbites restent donc confinées dans $H$. Prenons $a\in H$ un élément d'ordre $p$. L'orbite de $a$ admet un cardinal qui divise l'ordre de $G$. Ce cardinal sera donc par ordre croissant 1, ou $p$, ou strictement plus grand que $p$, puisque $p$ est le plus petit diviseur premier de $|G|$. Mais, l'orbite de $a$ est constituée d'éléments conjugués à $a$, donc d'ordre $p$ et tous contenus dans $H$, or $H$ étant un groupe d'ordre $p$ admet exactement $p-1$ éléments d'ordre $p$. La seule possibilité pour l'orbite de $a$ est d'être de cardinal 1, et donc tout $g\in G$ est tel que $gag^{-1}=a$, ainsi $a$ est dans le centre de $G$. Comme $a$ engendre $H$, on obtient bien $H\subset Z(G)$.
Le sens réciproque est évident car tout sous-groupe du centre est distingué dans $G$.

Remarque. Il ne faut pas confondre ce théorème avec celui plus connu du sous-groupe d'indice $p$ dans $G$ qui, s'il existe, est distingué dans $G$ ($p$ étant toujours le plus petit premier divisant $|G|$).

Alain