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Inclusion d’idéaux dans un anneau ?

Envoyé par Zakariyae 
Inclusion d’idéaux dans un anneau ?
il y a trois mois
avatar
Bonjour à tous
D'après un célèbre théorème de Krull, on a :
"Soit $A$ un anneau. Alors tout idéal propre de $A$ est contenu dans un idéal maximal".
Ça pour un anneau commutatif, je voudrais savoir est-ce que le résultat reste vrai si $A$ n'est pas commutatif.
Merci d'avance !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Zakariyae.
Re: Idéal maximal dans un anneau non abélien
il y a trois mois
Dans un anneau non commutatif il faut distinguer les notions d'idéal à gauche et d'idéal à droite. Dans tous les, cas il n'y aucune raison que la démonstration usuelle utilisant le lemme de Zorn ne fonctionne pas, pour montrer par exemple que tout idéal à gauche est contenu dans un idéal à gauche maximal.
Re: Idéal maximal dans un anneau non abélien
il y a trois mois
avatar
@Poirot merci pour votre message. Oui, dans Wikipedia (version anglaise), j'ai trouvé que "Krull's theorem" reste vrai pour un anneau non commutatif. Juste je voudrais savoir est ce qu'on peut dire aussi que:
"Soit A un anneau commutatif ou pas. Alors tout idéal fermé de A est contenu dans un idéal maximal ?
Donc le meme résultat mais sous la présence de la fermeture de l'idéal ? Merci!
Idéal maximal dans un anneau non commutatif
il y a trois mois
correction titre
Re: Inclusion d’idéaux dans un anneau ?
il y a trois mois
Un idéal fermé est en particulier un idéal, donc il est contenu dans un idéal maximal pour la même raison. La question serait plutôt, est-ce qu'un idéal fermé est toujours contenu dans un idéal fermé maximal. Je n'ai pas la réponse.
Re: Inclusion d’idéaux dans un anneau ?
il y a trois mois
C'est quoi, un idéal fermé ?
Re: Inclusion d’idéaux dans un anneau ?
il y a trois mois
J'imagine qu'on travaille implicitement avec une certaine topologie sur notre anneau qui rende les opérations continues.
Re: Inclusion d’idéaux dans un anneau ?
il y a trois mois
Par exemple, la topologie grossière ?
Je n'ai pas vu que Zakariyae parlait d'anneaux topologiques. Attendons qu'il éclaircisse sa question.
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