Inclusion d’idéaux dans un anneau ?

Zakariyae · October 2017

Bonjour à tous
D'après un célèbre théorème de Krull, on a :
"Soit $A$ un anneau. Alors tout idéal propre de $A$ est contenu dans un idéal maximal".
Ça pour un anneau commutatif, je voudrais savoir est-ce que le résultat reste vrai si $A$ n'est pas commutatif.
Merci d'avance !

Poirot · October 2017

Dans un anneau non commutatif il faut distinguer les notions d'idéal à gauche et d'idéal à droite. Dans tous les, cas il n'y aucune raison que la démonstration usuelle utilisant le lemme de Zorn ne fonctionne pas, pour montrer par exemple que tout idéal à gauche est contenu dans un idéal à gauche maximal.

Zakariyae · October 2017

@Poirot merci pour votre message. Oui, dans Wikipedia (version anglaise), j'ai trouvé que "Krull's theorem" reste vrai pour un anneau non commutatif. Juste je voudrais savoir est ce qu'on peut dire aussi que:
"Soit A un anneau commutatif ou pas. Alors tout idéal fermé de A est contenu dans un idéal maximal ?
Donc le meme résultat mais sous la présence de la fermeture de l'idéal ? Merci!

Chaurien · October 2017

correction titre

Poirot · October 2017

Un idéal fermé est en particulier un idéal, donc il est contenu dans un idéal maximal pour la même raison. La question serait plutôt, est-ce qu'un idéal fermé est toujours contenu dans un idéal fermé maximal. Je n'ai pas la réponse.