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Racine 8ème de l'unité dans F17

Envoyé par zariski 
Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Bonjour,
Je dois prouver que w est une racine 8ème primitive de l'unité dans F17 si et seulement si w est un carré et w^4 ne vaut pas 1. Pouvez-vous m'aider ? (L'implication w racine 8ème primitive de l'unité => w^4 différent de 1 étant triviale).
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Enfaite, je n'arrive juste pas à prouver que (w est une racine 8ème primitive de l'unité dans F17) implique (w est un carré)
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
Tu peux prendre un générateur du groupe cyclique $\mathbb{F}_{17}^*$.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Je ne vois pas comment cela prouve mon implication ?
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
bah moi non plus, faut réfléchir un peu smiling bouncing smiley

Disons que si on note $\theta$ un générateur, alors il existe $k \in \Z$ tel que $\theta^k = w$, est-ce qu'on sait quelque chose de l'ordre de $\theta^k$ en fonction de l'ordre de $\theta$ ?
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Ahah désolé je pensais qu'avec cette phrase ça devenait évident donc je me demandais ^^
Mmm déjà premier problème, si on note $\theta$ un générateur, alors $\exists k \in Z$ tel que $\theta^k=1$, pourquoi $\exists k \in Z$ tel que $\theta^k=w$?
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
Ah bin c'est un groupe cyclique $\mathbb{F}_{17}^\star$, non ? Et par définition de générateur d'un groupe cyclique ...
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Oui, si on prend un générateur $\theta$, $ \exists k \in Z$ tel que $\theta^k=1$ car F*17 est un groupe cyclique mais je ne vois pas le rapport avec $w$



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par zariski.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
Hum, tu peux me donner TA définition de : " $\theta$ est un générateur du groupe cyclique $\mathbb{F}_{17}^\star$ ?
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Les éléments de $\mathbb F_{17}$ sont les racines d'un certain polynôme.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Ouh la je ne suis pas réveillé, autant pour moi, si $\theta$ est générateur du groupe cyclique $F^*_{17}$, et comme $w \in F^*_{17}$, on a bien l'existence d'un $k\in Z$ tel que $\theta^k=w$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
C'est bon j'ai la suite! Merci beaucoup!!
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
bien joué winking smiley
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
J'objecte. Est-ce que zariski sait (démontrer) que $\mathbb{F}_{17}^*$ est un groupe cyclique ? C'est un résultat plus compliqué que celui qu'il faut montrer.

Voici une autre approche qui n'utilise pas ce résultat. On a deux morphismes, l'élévation au carré $\newcommand{\K}{\mathbb{F}_{17}^*}c:\K\to\K$, $y\mapsto y^2$ et l'élévation à la puissance huitième $h:\K\to\K$, $x\mapsto x^8$ (noter que $8=(p-1)/2$ où $p=17$). Ce qu'on veut montrer, c'est qu'une racine huitième de l'unité est un carré, c'est-à-dire que le noyau de $h$ est contenu dans l'image de $c$.

D'après le petit théorème de Fermat, la composée de ces deux morphismes (dans l'ordre que l'on voudra) est l'identité. Ainsi, pour tout $y$, $(y^2)^8=1$, c'est-à-dire que le noyau de $h$ contient l'image de $c$.

Mais d'un côté, le noyau de $c$ est $\{-1,1\}$, d'où le cardinal de l'image de $c$. De l'autre, pour tout $x$, $(x^8)^2=1$ donc $x^8=\pm1$ et l'image de $h$ est contenue dans $\{-1,1\}$, d'où une inégalité portant sur le cardinal de cette image. En recollant le morceaux, on obtient l'égalité souhaitée.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
oui c'est bien mieux comme ça smiling smiley
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
Allez micro preuve de la cyclicité (c'est peut être la remarque de Pierre).

$$X^{16}-1 = (X^8-1)(X^8+1)$$
Et en particulier il existe $x \in \mathbb{F}_{17}$ tel que $x^8+1=0$ et ce $x$ est forcément d'ordre $16$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par flipflop.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
avatar
Math Cross:

Montrer que $\mathbb{F}_{17}^*$ est cyclique, est simple. Il suffit d'exhiber un générateur. Pas besoin de sortir de grosses théories pour vérifier que parmi les 16 éléments de cet ensemble il y en a au moins un qui fait l'affaire.

Mais j'imagine que tu voulais parler de démontrer un résultat plus général.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Oui, je me suis un peu emballé en prenant 17 pour un nombre premier quelconque.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
On peut même dire que $${X}^{16}-1= \left( X-1 \right) \left( X+1 \right) \left( {X}^{2}+1
\right) \left( {X}^{4}+1 \right) \left( {X}^{8}+1 \right)
$$
ce qui donne le résultat demandé.
Re: Racine 8ème de l'unité dans F17
l’an passé
Trop d'implicites à mon goût pour ce niveau. Faut-il remarquer que pour chacune des huit racines de $X^8+1=0$, son carré est une racine de $X^4+1$, ce qui exprime les quatre racines primitives huitièmes de l'unité comme carrés ?

Sinon, encore plus rudimentaire, encore plus ad hoc : vu que $16\equiv-1\;[17]$ est une puissance de $2$, on exhibe facilement huit racines huitièmes de l'unité : $\pm1$, $\pm2$, $\pm4$, $\pm8$ (et il ne peut pas y en avoir plus). Ce sont des carrés : $-1=4^2$, $2=6^2$ et ça s'ensuit pour les autres. Le reste est à peu près évident (si $w$ est le carré de $x$ et alors $w^8=x^{16}=1$ et si de plus $w^4\ne1$, $w$ est une racine primitive).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Math Coss.
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