Bonjour,
Je dois prouver que w est une racine 8ème primitive de l'unité dans F17 si et seulement si w est un carré et w^4 ne vaut pas 1. Pouvez-vous m'aider ? (L'implication w racine 8ème primitive de l'unité => w^4 différent de 1 étant triviale).
Disons que si on note $\theta$ un générateur, alors il existe $k \in \Z$ tel que $\theta^k = w$, est-ce qu'on sait quelque chose de l'ordre de $\theta^k$ en fonction de l'ordre de $\theta$ ?
Ahah désolé je pensais qu'avec cette phrase ça devenait évident donc je me demandais ^^
Mmm déjà premier problème, si on note $\theta$ un générateur, alors $\exists k \in Z$ tel que $\theta^k=1$, pourquoi $\exists k \in Z$ tel que $\theta^k=w$?
Oui, si on prend un générateur $\theta$, $ \exists k \in Z$ tel que $\theta^k=1$ car F*17 est un groupe cyclique mais je ne vois pas le rapport avec $w$
Ouh la je ne suis pas réveillé, autant pour moi, si $\theta$ est générateur du groupe cyclique $F^*_{17}$, et comme $w \in F^*_{17}$, on a bien l'existence d'un $k\in Z$ tel que $\theta^k=w$.
J'objecte. Est-ce que zariski sait (démontrer) que $\mathbb{F}_{17}^*$ est un groupe cyclique ? C'est un résultat plus compliqué que celui qu'il faut montrer.
Voici une autre approche qui n'utilise pas ce résultat. On a deux morphismes, l'élévation au carré $\newcommand{\K}{\mathbb{F}_{17}^*}c:\K\to\K$, $y\mapsto y^2$ et l'élévation à la puissance huitième $h:\K\to\K$, $x\mapsto x^8$ (noter que $8=(p-1)/2$ où $p=17$). Ce qu'on veut montrer, c'est qu'une racine huitième de l'unité est un carré, c'est-à-dire que le noyau de $h$ est contenu dans l'image de $c$.
D'après le petit théorème de Fermat, la composée de ces deux morphismes (dans l'ordre que l'on voudra) est l'identité. Ainsi, pour tout $y$, $(y^2)^8=1$, c'est-à-dire que le noyau de $h$ contient l'image de $c$.
Mais d'un côté, le noyau de $c$ est $\{-1,1\}$, d'où le cardinal de l'image de $c$. De l'autre, pour tout $x$, $(x^8)^2=1$ donc $x^8=\pm1$ et l'image de $h$ est contenue dans $\{-1,1\}$, d'où une inégalité portant sur le cardinal de cette image. En recollant le morceaux, on obtient l'égalité souhaitée.
Montrer que $\mathbb{F}_{17}^*$ est cyclique, est simple. Il suffit d'exhiber un générateur. Pas besoin de sortir de grosses théories pour vérifier que parmi les 16 éléments de cet ensemble il y en a au moins un qui fait l'affaire.
Mais j'imagine que tu voulais parler de démontrer un résultat plus général.
On peut même dire que $${X}^{16}-1= \left( X-1 \right) \left( X+1 \right) \left( {X}^{2}+1
\right) \left( {X}^{4}+1 \right) \left( {X}^{8}+1 \right)
$$
ce qui donne le résultat demandé.
Trop d'implicites à mon goût pour ce niveau. Faut-il remarquer que pour chacune des huit racines de $X^8+1=0$, son carré est une racine de $X^4+1$, ce qui exprime les quatre racines primitives huitièmes de l'unité comme carrés ?
Sinon, encore plus rudimentaire, encore plus ad hoc : vu que $16\equiv-1\;[17]$ est une puissance de $2$, on exhibe facilement huit racines huitièmes de l'unité : $\pm1$, $\pm2$, $\pm4$, $\pm8$ (et il ne peut pas y en avoir plus). Ce sont des carrés : $-1=4^2$, $2=6^2$ et ça s'ensuit pour les autres. Le reste est à peu près évident (si $w$ est le carré de $x$ et alors $w^8=x^{16}=1$ et si de plus $w^4\ne1$, $w$ est une racine primitive).
Réponses
Disons que si on note $\theta$ un générateur, alors il existe $k \in \Z$ tel que $\theta^k = w$, est-ce qu'on sait quelque chose de l'ordre de $\theta^k$ en fonction de l'ordre de $\theta$ ?
Mmm déjà premier problème, si on note $\theta$ un générateur, alors $\exists k \in Z$ tel que $\theta^k=1$, pourquoi $\exists k \in Z$ tel que $\theta^k=w$?
Voici une autre approche qui n'utilise pas ce résultat. On a deux morphismes, l'élévation au carré $\newcommand{\K}{\mathbb{F}_{17}^*}c:\K\to\K$, $y\mapsto y^2$ et l'élévation à la puissance huitième $h:\K\to\K$, $x\mapsto x^8$ (noter que $8=(p-1)/2$ où $p=17$). Ce qu'on veut montrer, c'est qu'une racine huitième de l'unité est un carré, c'est-à-dire que le noyau de $h$ est contenu dans l'image de $c$.
D'après le petit théorème de Fermat, la composée de ces deux morphismes (dans l'ordre que l'on voudra) est l'identité. Ainsi, pour tout $y$, $(y^2)^8=1$, c'est-à-dire que le noyau de $h$ contient l'image de $c$.
Mais d'un côté, le noyau de $c$ est $\{-1,1\}$, d'où le cardinal de l'image de $c$. De l'autre, pour tout $x$, $(x^8)^2=1$ donc $x^8=\pm1$ et l'image de $h$ est contenue dans $\{-1,1\}$, d'où une inégalité portant sur le cardinal de cette image. En recollant le morceaux, on obtient l'égalité souhaitée.
$$X^{16}-1 = (X^8-1)(X^8+1)$$
Et en particulier il existe $x \in \mathbb{F}_{17}$ tel que $x^8+1=0$ et ce $x$ est forcément d'ordre $16$.
Montrer que $\mathbb{F}_{17}^*$ est cyclique, est simple. Il suffit d'exhiber un générateur. Pas besoin de sortir de grosses théories pour vérifier que parmi les 16 éléments de cet ensemble il y en a au moins un qui fait l'affaire.
Mais j'imagine que tu voulais parler de démontrer un résultat plus général.
\right) \left( {X}^{4}+1 \right) \left( {X}^{8}+1 \right)
$$
ce qui donne le résultat demandé.
Sinon, encore plus rudimentaire, encore plus ad hoc : vu que $16\equiv-1\;[17]$ est une puissance de $2$, on exhibe facilement huit racines huitièmes de l'unité : $\pm1$, $\pm2$, $\pm4$, $\pm8$ (et il ne peut pas y en avoir plus). Ce sont des carrés : $-1=4^2$, $2=6^2$ et ça s'ensuit pour les autres. Le reste est à peu près évident (si $w$ est le carré de $x$ et alors $w^8=x^{16}=1$ et si de plus $w^4\ne1$, $w$ est une racine primitive).