Racine 8ème de l'unité dans F17

Les éléments de $\mathbb F_{17}$ sont les racines d'un certain polynôme.

J'objecte. Est-ce que zariski sait (démontrer) que $\mathbb{F}_{17}^*$ est un groupe cyclique ? C'est un résultat plus compliqué que celui qu'il faut montrer.

Voici une autre approche qui n'utilise pas ce résultat. On a deux morphismes, l'élévation au carré $\newcommand{\K}{\mathbb{F}_{17}^*}c:\K\to\K$, $y\mapsto y^2$ et l'élévation à la puissance huitième $h:\K\to\K$, $x\mapsto x^8$ (noter que $8=(p-1)/2$ où $p=17$). Ce qu'on veut montrer, c'est qu'une racine huitième de l'unité est un carré, c'est-à-dire que le noyau de $h$ est contenu dans l'image de $c$.

D'après le petit théorème de Fermat, la composée de ces deux morphismes (dans l'ordre que l'on voudra) est l'identité. Ainsi, pour tout $y$, $(y^2)^8=1$, c'est-à-dire que le noyau de $h$ contient l'image de $c$.

Mais d'un côté, le noyau de $c$ est $\{-1,1\}$, d'où le cardinal de l'image de $c$. De l'autre, pour tout $x$, $(x^8)^2=1$ donc $x^8=\pm1$ et l'image de $h$ est contenue dans $\{-1,1\}$, d'où une inégalité portant sur le cardinal de cette image. En recollant le morceaux, on obtient l'égalité souhaitée.

Allez micro preuve de la cyclicité (c'est peut être la remarque de Pierre).

$$X^{16}-1 = (X^8-1)(X^8+1)$$
Et en particulier il existe $x \in \mathbb{F}_{17}$ tel que $x^8+1=0$ et ce $x$ est forcément d'ordre $16$.

Oui, je me suis un peu emballé en prenant 17 pour un nombre premier quelconque.

Trop d'implicites à mon goût pour ce niveau. Faut-il remarquer que pour chacune des huit racines de $X^8+1=0$, son carré est une racine de $X^4+1$, ce qui exprime les quatre racines primitives huitièmes de l'unité comme carrés ?

Sinon, encore plus rudimentaire, encore plus ad hoc : vu que $16\equiv-1\;[17]$ est une puissance de $2$, on exhibe facilement huit racines huitièmes de l'unité : $\pm1$, $\pm2$, $\pm4$, $\pm8$ (et il ne peut pas y en avoir plus). Ce sont des carrés : $-1=4^2$, $2=6^2$ et ça s'ensuit pour les autres. Le reste est à peu près évident (si $w$ est le carré de $x$ et alors $w^8=x^{16}=1$ et si de plus $w^4\ne1$, $w$ est une racine primitive).