factorisation polynôme

Bonjour a tous,

Bon voici mon probleme. Soit $\lambda$ un parametre et soient $q_1,...,q_s$ des polynomes de $\mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_t]$ de taille polynomiale en $\lambda$ (ce qui signifie qu'il existe un circuit arithmétique de taille polynomiale les représentant). Supposons qu'il existe un nombre exponentielle (en $\lambda$) de nombres premiers $p_1,\ldots,p_r$ tel que pour chaque $p_i$, il existe un polynome $\phi_i\in \mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_s]$ de taille polynomiale tel que $\phi_i(q_1,...,q_s)$ soit factorizable par $(X_1+\ldots+X_t)$ sur $\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$. Pourrait-on en conclure qu'il existe un polynome $\phi$ de taille polynomiale tel que $\phi(q_1,...,q_s)$ est factorizable par $(X_1+\ldots+X_t)$ sur $\mathbb{Z}$? Sinon manque-t-il une condition (par exemple que les $\phi_i$ soient egaux)?

Merci a vous