exponentielle d'une matrice

Bonjour, je sollicite votre aide concernant la formule suivante

J'ai trouvé dans un article le résultat suivant,
Soit A une matrice dans $GL(r,\mathbb{C})$ avec $M_{A}(X) = (X-\lambda)^{m}$ son polynôme minimal. ALors on a

$e^{tA}=\sum\limits_{j=0}^{m-1}f_{j}(t) A^{j}$ , avec

$f_{j}(t)=\frac{e^{\lambda t}}{j!} \left( \sum\limits_{n=j}^{m-1} \frac{(-1)^{n-j}}{(n-j)!} \lambda^{n-j} t^{n} \right)$


je n'arrive pas à trouver le résultat souhaité

j'ai trouvé le résultat suivant

$e^{tA}=\sum\limits_{j=0}^{m-1} e^{\lambda t} \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{(-1)^{j-k}}{k!(j-k!)} t^{j} A^{k} \lambda^{j-k}$