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exponentielle d'une matrice

Envoyé par aloui 
exponentielle d'une matrice
l’an passé
Bonjour, je sollicite votre aide concernant la formule suivante

J'ai trouvé dans un article le résultat suivant,
Soit A une matrice dans $GL(r,\mathbb{C})$ avec $M_{A}(X) = (X-\lambda)^{m}$ son polynôme minimal. ALors on a

$e^{tA}=\sum\limits_{j=0}^{m-1}f_{j}(t) A^{j}$ , avec

$f_{j}(t)=\frac{e^{\lambda t}}{j!} \left( \sum\limits_{n=j}^{m-1} \frac{(-1)^{n-j}}{(n-j)!} \lambda^{n-j} t^{n} \right)$


je n'arrive pas à trouver le résultat souhaité

j'ai trouvé le résultat suivant

$e^{tA}=\sum\limits_{j=0}^{m-1} e^{\lambda t} \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{(-1)^{j-k}}{k!(j-k!)} t^{j} A^{k} \lambda^{j-k}$
Re: exponentielle d'une matrice
l’an passé
Vous avez apparemment tous les deux raison. Il suffit de permuter les deux sommes (si on fixe $k$ d'abord, $j$ varie de $k$ à $m-1$) puis de remplacer $(k,j)$ par $(j,n)$ (« poser $n=j$ puis $k=j$ si on veut »).
Re: exponentielle d'une matrice
l’an passé
Moi je trouve comme toi, peut-être faut-il tripatouiller cette expression pour trouver l'autre...
P.
Re: exponentielle d'une matrice
l’an passé
Franchement artificiel car $A=A_1+\lambda I_n$ avec $A_1$ nilpotente et $e^{tA}=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{k!}A_1^k.$



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par P..
Re: exponentielle d'une matrice
l’an passé
Merci Math Coss
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