Aide en algèbre
dans Algèbre
Bonsoir ,
jai du mal à résoudre cet exercice doonc qui peut m’aider svp ?
Montrer en utilisant le binôme de Newton que si E est un ensemble de cardinal n, alors P(E) est de cardinal 2^n
jai du mal à résoudre cet exercice doonc qui peut m’aider svp ?
Montrer en utilisant le binôme de Newton que si E est un ensemble de cardinal n, alors P(E) est de cardinal 2^n
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Réponses
Une partie de $E$ à $0 \leq k \leq n$ éléments peut être choisie de plusieurs façons : de combien exactement ? Pense aux combinaisons... puis somme sur $k$... puis binôme de Newton.
Sinon, une récurrence mène au résultat...
Je te donne un indice supplémentaire , 2 = 1 + 1 .
Si on sait qu'un ensemble à $n$ éléments $E_n$ possède $k$ sous-ensembles (ensemble vide inclus) il est assez immédiat ,si on choisit un élément $a$, de $E_{n+1}$ de donner une bijection entre l'ensemble des sous-ensembles de $E_{n+1}$ qui contiennent $a$ et l'ensemble $P(E_n)$
PS:
Il y a longtemps dans l'enseignement secondaire on savait que $\binom{n}{k}$ était le nombre de sous-ensembles à k éléments d'un ensemble qui possède $n$ éléments. Mais aujourd'hui il est moins clair, compte tenu de la définition donnée de ces nombres qu'on a bien cette égalité.