Centre du groupe G
Bonsoir,
En lisant d'autres posts du forum et en lisant plusieurs autres sources, j'ai voulu me faire une idée plus précise de ce que représente $Z(G)$.
J'ai compris que ça n'a d'intérêt que pour des groupes non abéliens, sinon ag=ga quelque soient les éléments de G.
1)
Du coup je me suis dis qu'en regardant ce qui se passe dans un groupe tel que C8xC2 j'avais des chances de (peut-être) voir des choses intéressantes. - a) Maintenant en ayant regardé ça, je me dis que quelque soient les groupes du type CnXCm, ils sont tous Abéliens... non ? - b) Leur graphes de Caley sont toujours symétriques, n'est-ce pas ?
2) J'ai du coup changé d'option, j'ai regardé pour $S3$... Il semble que seul ${e} \in Z(G)$
Auriez-vous un groupe simple à comprendre dont $Z(G)$ ne soit pas réduit à 1 seul élément ? Je vous remercie.
En lisant d'autres posts du forum et en lisant plusieurs autres sources, j'ai voulu me faire une idée plus précise de ce que représente $Z(G)$.
J'ai compris que ça n'a d'intérêt que pour des groupes non abéliens, sinon ag=ga quelque soient les éléments de G.
1)
Du coup je me suis dis qu'en regardant ce qui se passe dans un groupe tel que C8xC2 j'avais des chances de (peut-être) voir des choses intéressantes. - a) Maintenant en ayant regardé ça, je me dis que quelque soient les groupes du type CnXCm, ils sont tous Abéliens... non ? - b) Leur graphes de Caley sont toujours symétriques, n'est-ce pas ?
2) J'ai du coup changé d'option, j'ai regardé pour $S3$... Il semble que seul ${e} \in Z(G)$
Auriez-vous un groupe simple à comprendre dont $Z(G)$ ne soit pas réduit à 1 seul élément ? Je vous remercie.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En effet le centre d'un groupe abélien étant le groupe lui-même, il n'a rien de spécial que n'aurait pas le groupe lui-même.
Comme tu dis, $\mathfrak S_3$ a un centre trivial. Si maintenant tu regardes vers les groupes (non abéliens) d'ordre 8, tu en as deux bien connus.
$\triangleright$ Le groupe diédral $D_4$, c'est le groupe des isométries du plan euclidien laissant un carré invariant. Son centre n'est pas trivial.
$\triangleright$ Le groupe des quaternions $\mathbb H_8$, qui présente un cas de groupe ayant un unique élément d'ordre 2 (voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1539690 ) et ce sous-groupe d'ordre 2 en est précisément le centre.
Alain
(Le lien ci-dessus est justement celui qui m'a fait me poser cette question.)
$
\begin{array}{ | l | c | r | }
\hline
D4 & {\color{green}{e}} & {\color{green}{r}} & {\color{green}{r^2}} & {\color{green}{r^3}} & {\color{green}{s1}} & {\color{green}{s2}} & {\color{green}{t1}} & {\color{green}{t2}} \\ \hline
{\color{green}{e}} & {\color{red} e} & {\color{red} r} & {\color{red}{r^2}} & {\color{red}{r^3}} & s1 & s2 & t1 & t2 \\ \hline
{\color{green}{r}} & {\color{red} r} & {\color{red}{r^2}} & {\color{red}{r^3}} & {\color{red} e} & t1 & t2 & s2 & s1 \\ \hline
{\color{green}{r^2}} & {\color{red}{r^2}} & {\color{red}{r^3}} & {\color{red} e} & {\color{red} r} & s2 & s1 & t2 & t1 \\ \hline
{\color{green}{r^3}} & {\color{red}{r^3}} & {\color{red} e} & {\color{red} r} & {\color{red}{r^2}} & t2 & t1 & s1 & s2 \\ \hline
{\color{green}{s1}} & s1 & t2 & s2 & t1 & {\color{blue}{e}} & {\color{blue}{r^2}} & {\color{blue}{r^3}} & {\color{blue}{r}} \\ \hline
{\color{green}{s2}} & s2 & t1 & s1 & t2 & {\color{blue}{r^2}} & {\color{blue}{e}} & {\color{blue}{r}} & {\color{blue}{r^3}} \\ \hline
{\color{green}{t1}} & t1 & s1 & t2 & s2 & {\color{blue}{r}} & {\color{blue}{r^3}} & {\color{blue}{e}} & {\color{blue}{r^2}} \\ \hline
{\color{green}{t2}} & t2 & s2 & t1 & s1 & {\color{blue}{r^3}} & {\color{blue}{r}} & {\color{blue}{r^2}} & {\color{blue}{e}} \\ \hline
\hline
\end{array}
$
Dans $D4$ si j'appelle $H$ le sous-groupe des rotations (en rouge), je vois qu'il est abélien, mais je ne vois pas pourquoi $Z(G)$ n'est pas réduit à $e$. $e$ est le seul élément dont la ligne est identique à sa colonne.
$Z(G) = \{g \in G; \forall x \in G, xg=gx\}$ ne signifie-t-il pas que pour qu'un élément $g \in Z(G)$ il faille que sa ligne et sa colonne soit identique ?
....
J'y réfléchi...
\[\begin{array}{ | l | c | r | }
\hline
H & {\color{green}{e}} & {\color{green}{r}} & {\color{green}{r^2}} & {\color{green}{r^3}} \\ \hline
{\color{green}{e}} & {\color{red} e} & {\color{red} r} & {\color{red}{r^2}} & {\color{red}{r^3}} \\ \hline
{\color{green}{r}} & {\color{red} r} & {\color{red}{r^2}} & {\color{red}{r^3}} & {\color{red} e} \\ \hline
{\color{green}{r^2}} & {\color{red}{r^2}} & {\color{red}{r^3}} & {\color{red} e} & {\color{red} r} \\ \hline
{\color{green}{r^3}} & {\color{red}{r^3}} & {\color{red} e} & {\color{red} r} & {\color{red}{r^2}} \\ \hline
\hline
\end{array}\]
On voit que cette table est symétrique.
En revanche, comme tu l'as constaté, les éléments $r$ et $r^3$ ne sont pas dans le centre de $G$.
Mais pour ce qui est du centre de G (D4) lui-même ???
AD à l'air de m'avoir suggéré que son centre est non trivial, mais je ne vois pas.
Je suis complètement passé à côté. $Z(G) = \{e, r^2\}$
Juste en aparté :
Sur cette page Liste_des_petits_groupes il est dit que D4 est isomorphe au groupe de Klein V dont le schéma est un Y.
Il me semble que <$r$> est d'ordre 4, <$r^2$> d'ordre 2 comme <$s1$>, <$s2$>, <$t1$>, <$t2$>
Son schéma ne devrait-il pas être un cycle et 4 branches ?
Ce que Wikipedia appelle $D_4$ serait sans doute appelé $D_2$ par AD (groupe des symétries du plan qui préservent un segment).
J'imagine que quelque soit le nombre de côtés du polygone :
- pour un nombre impair de côtés $Z(G)=\{e\}$
- pour un nombre de côtés pairs $Z(G)=\{e, r^{côtés/2}\}$
Mais je me trompe peut-être je n'ai pas vérifié sur d'autres groupes (c'est long).
Bref...
Quel est l'intérêt d'identifier le centre d'un groupe ? (c'est peut-être trop vague comme question.)
Le groupe des isométries planes laissant invariant un polygone régulier de $n$ côtés est le groupe diédral noté $D_n$.
Si $n$ est pair, la rotation $r^{n/2}$ est la symétrie point par rapport au centre du polygone. C'est donc l'homothétie de rapport $-1$.
Elle commute avec toutes les rotations $r^k$, mais aussi avec toutes les symétries orthogonales d'axe une diagonale ou une apothème. Elle est donc dans le centre.
Si $n$ est impair, aucune rotation n'est une symétrie point, le centre est alors réduit à l'identité.
L'intérêt de déterminer le centre d'un groupe non commutatif, est de mieux comprendre la structure du groupe. On sait que tous les éléments du centre commutent avec tout le monde, cela simplifie beaucoup les calculs lorsqu'on tombe sur l'un d'eux. D'autre part, le centre est distingué (si tu ne l'as pas encore vu, tu vas voir bientôt ce que cela veut dire) et donc on peut toujours quotienter le groupe par son centre pour obtenir un nouveau groupe plus petit que le groupe initial, et qui induit des renseignements sur la structure du groupe initial.
Alain
C'est beaucoup plus clair pour ce qui est du centre. J'ai vu aussi ce qu'il en était pour le groupe $\mathbb H_8$.
J'ai lu (survolé) plusieurs fois des choses sur les groupes distingués mais sans vraiment essayé de comprendre, je laisse ça pour plus tard. Je vais continué à rechercher d'autres groupes autres que $Dn$ qui puissent être intéressants.
Dans ce que j'ai lu, j'ai plusieurs fois rencontré la notion de groupes distingués en lien avec le fait de quotienter un groupe. Pour l'instant je me contente des notions de congruence et de quotient par un sous-groupe. Chaque questions en amène plusieurs autres, il ne faut pas que je me disperse. Je reste sur Z(G).
Merci.
Merci d'avance.
Fr. Ch.
Bonne idée. N'ayant pas réussi à le pirater, je l'ai acheté en dépit de son prix élevé (mais justifié), mais je ne l'avais pas encore ouvert, croyant magiquement que sa seule présence en ma demeure élevait mon faible niveau en algèbre. C'est impressionnant.
Maintenant s'il y avait quelque part sur Internet la liste des groupes d'ordres mettons de 1 à 31 avec l'ordre de leur centre, ça m'arrangerait aussi.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Mais je ne sais pas ce que c'est vraiment en fait. De mémoire toujours, mais sans en être certain ${\rm GL}_n(\mathbb{K})$, sont les matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. Les SL ont un déterminant nul je crois !?
J'imagine que c'est une piste à propos de ce qui m'intéresse. Je vais donc regardé ça. Merci.
Mais effectivement ce n'est pas une partie claire pour moi.