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Complexes

Envoyé par mikess19731973 
Complexes
il y a six mois
Bonjour,je viens de resoudre cet exercice mais lorsque je verifie je trouve une racine imaginaire??
Pouvez vous m'aiguiller?
Merci


Re: Complexes
il y a six mois
avatar
Bonjour,

L'équation en $z$ est de degré $2$ sur $\C$ : elle admet deux racines complexes. Tu as trouvé la condition nécessaire et suffisante pour qu'une des racines soit réelle ; tu as donc que l'autre racine est complexe. Ainsi, tu n'as pas de problème de calcul : c'est ton raisonnement qui est erroné. Au moins une racine réelle signifie :
- soit une racine réelle et l'autre non réelle (c'est le cas ici) ;
- soit une racine réelle et l'autre réelle.
Re: Complexes
il y a six mois
Non, tu n'as pas trouvé une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation admette au moins une racine réelle !
Tu fais un calcul, mais quel est le sens de ce calcul ? Pourrais-tu expliquer ce que tu fais, et pourquoi c'est censé exprimer le fait qu'une des racines est réelle ?
Un conseil : cette équation a deux racines qu'il est facile de trouver. Ceci fait, on peut sans trop de peine trouver une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour qu'une de ces racines soit réelle.
NB. Les relations coefficients-racines montrent que la somme des racines est égale à $2(1-i)$. Donc si l'une des racines est réelle, l'autre ne l'est forcément pas.
Re: Complexes
il y a six mois
avatar
Bonjour @GaBuZoMeu,

Soit $\displaystyle a \in \C$ et l'équation $\displaystyle z^2 - 2(1-i)z + a^2-2i =0, z \in \C.$
Le discriminant vaut $\displaystyle -a^2$ et les racines sont donc $\displaystyle z_\varepsilon = 1-i + i \varepsilon a, \varepsilon = \pm 1$ que l'on peut vérifier directement par calcul.
On note $\displaystyle a = \alpha + i \beta, (\alpha, \beta) \in \R^2$ et alors les racinez sont $\displaystyle z_\varepsilon = (1-\varepsilon \beta) + i (\varepsilon \alpha - 1).$
L'équation admet au moins une racine réelle si et seulement si $\displaystyle \varepsilon \alpha - 1 = 0 \iff \alpha =\varepsilon = \pm 1.$

La condition trouvée $a = \pm 1$ est donc bien une condition nécessaire et suffisante, non ? Ah non ! Les notations me trompent. La condition nécessaire et suffisante est $\Re(a) = \pm 1.$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par YvesM.
Re: Complexes
il y a six mois
M'enfin YvesM, c'était ton exercice ou celui de mikess19731973 ? Qu'est-ce qui te prend de le faire à sa place ?
Re: Complexes
il y a six mois
bonjour

si tant est que Yves se soit fourvoyé, est-ce suffisant pour l'apostropher de cette manière ?

notre ami GaBu devrait apprendre à être plus humain et plus urbain avec les intervenants comme auprès des élèves

notre forum y gagnerait sûrement

en toutes amitiés
Re: Complexes
il y a six mois
avatar
Notre ami GaBuZoMeu peut très bien se montrer humain et urbain. Personnellement il a toujours repris mes trop nombreuses idioties avec courtoisie. A l'occasion il lui est arrivé d'y relever les point positifs.
Et il fait preuve de beaucoup de patience pour expliquer, encore et encore, progressivement et en détail, aux apprenants qui cherchent sincèrement.
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