Complexes

Bonjour,

L'équation en $z$ est de degré $2$ sur $\C$ : elle admet deux racines complexes. Tu as trouvé la condition nécessaire et suffisante pour qu'une des racines soit réelle ; tu as donc que l'autre racine est complexe. Ainsi, tu n'as pas de problème de calcul : c'est ton raisonnement qui est erroné. Au moins une racine réelle signifie :
- soit une racine réelle et l'autre non réelle (c'est le cas ici) ;
- soit une racine réelle et l'autre réelle.

Bonjour @GaBuZoMeu,

Soit $\displaystyle a \in \C$ et l'équation $\displaystyle z^2 - 2(1-i)z + a^2-2i =0, z \in \C.$
Le discriminant vaut $\displaystyle -a^2$ et les racines sont donc $\displaystyle z_\varepsilon = 1-i + i \varepsilon a, \varepsilon = \pm 1$ que l'on peut vérifier directement par calcul.
On note $\displaystyle a = \alpha + i \beta, (\alpha, \beta) \in \R^2$ et alors les racinez sont $\displaystyle z_\varepsilon = (1-\varepsilon \beta) + i (\varepsilon \alpha - 1).$
L'équation admet au moins une racine réelle si et seulement si $\displaystyle \varepsilon \alpha - 1 = 0 \iff \alpha =\varepsilon = \pm 1.$

La condition trouvée $a = \pm 1$ est donc bien une condition nécessaire et suffisante, non ? Ah non ! Les notations me trompent. La condition nécessaire et suffisante est $\Re(a) = \pm 1.$

bonjour

si tant est que Yves se soit fourvoyé, est-ce suffisant pour l'apostropher de cette manière ?

notre ami GaBu devrait apprendre à être plus humain et plus urbain avec les intervenants comme auprès des élèves

notre forum y gagnerait sûrement

en toutes amitiés