Groupes monogènes

Mrocdemorgat écrivait:

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> Le jury souhaiterait voir des exemples autres que
> dans $\Z$, et suggère de proposer des
> sous-groupes de $(\K[X],+)$.

Où vois-tu ça ?

OK. Lisons :

101 (groupes monogènes) : il convient de donner des exemples autres que dans $Z$ (sous groupes de $(K[X],+)$, de $(R,+)$, etc.). On apprécierait des exemples de groupes non monogènes à la fois dans le cas commutatif et non commutatif. Il faut ici maîtriser les techniques de calcul telles que le calcul de $\varphi(n)$ et éviter les développements sans grand rapport avec le sujet tels que le théorème de Wilson. On peut aussi évoquer une condition nécessaire et suffisante pour qu’un groupe soit cyclique, les sous-groupes d’un groupe cyclique, etc. Enfin, les sous-groupes de $\R$, trop souvent évoqués et d’un intérêt limité par rapport à la situation, ont maintes fois donné lieu à des démonstrations peu rigoureuses.

Je ne vois vraiment rien de substantiel à dire sur les sous-groupes monogènes de $(K[X],+)$ ; quelle drôle d'idée ! Sur les sous-groupes additifs de $\R$, on peut effectivement parler de la dichotomie monogène/dense ; il est curieux de voir plus loin dans le même commentaire que "les sous-groupes de $\R$ [sont] d’un intérêt limité par rapport à la situation". On peut penser aussi aux sous-groupes multiplicatifs cycliques de $\C$ (racines de l'unité). Et les exemples intéressants de groupes monogènes issus de $\Z$ se trouvent plutôt du côté des quotients que des sous-groupes.

PS. Des exemples de groupes monogènes dans le cas non commutatif, ça ne me semble pas très dur. Tu vois pourquoi ?

Un secret : le développement décimal de $a/b$ (où $b\wedge10=1$) est gouverné par le sous-groupe engendré par $10$ dans $(\Z/b\Z)^*$.

Humour, FdP ?

le sous-groupe engendré par M a de grandes chances d'être monogène.

C'est ici que je voyais de l'humour.
Le sous-groupe de n'importe quel groupe engendré par n'importe quel élément est toujours monogène, par définition de "monogène".

Je pensais que la terminologie monogène ne s'appliquait que dans le cas où le sous-groupe engendré par un élément avait, considéré comme ensemble, un cardinal infini. Apparemment c'est un terme générique qui inclut aussi le cas cyclique.

Un groupe monogène infini intéressant est le groupe des unités positives de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt d]$ où $d$ est un entier positif quadratfrei, avec application à l'équation de [large]Fermat[/large]-[small]«Pell»[/small], les nombres carrés triangulaires, etc.
Bonne journée grise de saison,
Fr. Ch.

@majax : pour l'équation de Fermat et le rapport avec le groupe des unités de $\mathbb Z[\sqrt d]$, tu peux regarder dans l'excellent "Théorie algébrique des nombres" de Pierre Samuel chez Hermann.

J'en ai déjà parlé sur ce forum, sans recourir à la profonde théorie générale des corps de nombres. Je ne retrouve pas le message, alors je répète.

Soit $d$ un entier positif quadratfrei et soit l'anneau : $A=\Z[\sqrt{d}]=\Z+\Z\sqrt{d}=\{x+y\sqrt{d}\mid x\in \Z,y\in \Z\}$.
Pour $z\in A$,$z=x+y\sqrt{d}$,$x\in \Z,y\in \Z$, on pose : $\sigma (z)=x-y\sqrt{d}$ (conjugué). On définit ainsi une application $\sigma $ qui est un automorphisme involutif de l'anneau $A$.
On pose de plus : $N(z)=z\sigma (z)=x^{2}-dy^{2}$ (norme), qui est un entier relatif.
Il est clair que : $N(zz')=N(z)N(z')$.
On désigne par $U$ l'ensemble des unités de cet anneau $A$, qui sont les éléments de $A$ ayant un inverse élément de $A$. Cet ensemble $U$ est un groupe multiplicatif. Si $z\in U$, alors : $\sigma (z)\in U$, $\frac{1}{z}\in U$, $-z\in U$. L'ensemble $U_{+}$ des unités positives de l'anneau $A$ est aussi un groupe multiplicatif, et l'on a : $U=U_{+}\cup (-U_{+})$. L'ensemble $U$ est exactement l'ensemble des $z\in A$ tels que : $\left| N(z)\right| =1$. Tout ceci est élémentaire.

Ce qui est un peu plus caché, c'est que le groupe $U$ ne se réduit jamais à $\{\pm 1\}$. Ceci se prouve par la théorie des fractions continu(é)es. On peut sans doute admettre ce point dans un exposé d'agreg, et on y reviendra si besoin est.

Soit $W$ l'ensemble des $z\in U$, $z>1$, qui n'est donc pas vide.
Soit $z\in W$, $z=x+y\sqrt{d}$, $x\in \Z,y\in \Z$. Alors : $\left| x-y\sqrt{d}\right| =\frac{1}{x+y\sqrt{d}}\in ]0,1[$.
Les trois inégalités : $x+y\sqrt{d}>1$, $-1<x-y\sqrt{d}<1$ impliquent : $x>0$ et $y>0$, soit : $x\geq 1$ et $y\geq 1$.

Soit un élément fixé $\zeta \in W$. Soit $z\in W$ et $z\leq \zeta $, avec $z=x+y\sqrt{d}$, $x\in \mathbb{Z}$, $y\in \mathbb{Z}$. Alors : $1\leq x\leq x+y\sqrt{d}=z\leq \zeta $, et $1\leq
y\leq y\sqrt{d}\leq x+y\sqrt{d}=z\leq \zeta $. L'ensemble des $z\in W$, $z\leq \zeta $, est donc fini, et non vide. Cet ensemble a donc un plus petit élément $\omega $, qui est le plus petit élément de $ W $. C'est le point important, comme dans toute démonstration de « monogénéité ».

Alors, ça roule. Soit $z\in U_{+}$, et $n=\left\lfloor \frac{\ln z}{\ln \omega }\right\rfloor $, d'où : $n\in \Z$. On a : $\omega ^{n}\leq z<\omega ^{n+1}$, soit : $1\leq z\omega ^{-n}<\omega $. Comme $z$ et $\omega $ sont éléments du groupe multiplicatif $ U_{+}$, il en est de même de $z\omega ^{-n}$. Si l'on avait : $z\omega ^{-n}>1$, alors $z\omega ^{-n}\in W$ et ceci impliquerait : $z\omega^{-n}\geq \omega $, qui est faux. D'où : $z\omega ^{-n}=1$, soit $z=\omega ^{n}$.

Ainsi, $U_{+}=\{\omega ^{n}|n\in \mathbb{Z}\}$. Et par suite : $U=\{\pm \omega ^{n}|n\in \mathbb{Z}\}$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.
09/10/2017

Autrement, à propos des groupes monogènes, il y a aussi ce théorème:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_structure_des_groupes_abéliens_de_type_fini

Suite de mon message précédent.
Ça marche aussi pour les autres anneaux d'entiers algébriques $\Z[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$ avec $d$ entier positif quadratfrei, $ d \equiv 1\pmod 4$. On peut en déduire la représentation diophantienne des nombres de Fibonacci, qui est le polynôme de Jones à deux variables dont les valeurs positives, lorsqu'on donne aux variables des valeurs qui sont des entiers naturels, sont exactement les nombres de Fibonacci.
On en a parlé ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1445912,1445952,quote=1
Bonne soirée.
Fr. Ch.

@Chaurien
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1541816,1542158#msg-1542158

J'apporte une nuance à ton ``Ceci (le fait que $U$ ne soit pas réduit à $\{\pm 1\}$) se prouve par la théorie des fractions continu(é)es'' en disant ``Ceci peut se prouver en utilisant la théorie ..'', cf par exemple l'exercice 4 en attaché.

Par ailleurs, à la main, pour des petits $d$, il y a une méthode élémentaire (pas efficace si $d$ est grand) pour trouver l'unité fondamentale : c'est l'objet de la question f du premier exercice de la suite d'exercices (corrigés) en attaché. Comme je suis sensible à l'algèbre effective (sic), j'avais implémenté en maple le calcul de l'unité fondamentale en utilisant les primitives maple sur les fractions continues et j'avais trouvé qu'il y avait des subtilités. Ce programme maple est disponible mais ne figure pas ici.

https://www.amazon.fr/Algèbre-commutative-Cours-exercices-corrigés/dp/2100057790
gloups !

@FdP : D'accord, je vois. C'est vrai que le fait "un groupe de type fini abélien est un produit fini de groupes monogènes" est intéressant en soi, je n'y avais pas pensé.