Quel est ce sens ?
Trouver une solution ? Trouver toutes les solutions ? (et que veut dire "trouver" ?). Exprimer les solutions au moyen de radicaux ? Donner de manière certifiée des encadrements des racines réelles, aussi précis que l'on veut ? etc.
Bref, je ne comprends toujours pas ta question.
Est-ce que ta question est "Pour quels entiers $m$ peut-on ramener la résolution de l'équation $x^5+|x|+m=0$ à la résolution d'une suite d'équations polynomiales de degré $\leq 4$" ? Dans cette équation, faut-il comprendre $|x|$ comme le module du nombre complexe $x$ ?
Je n'arrive pas à voir ce qui est si difficile à comprendre.
$x$ est le $x$ qui hante les équations depuis Descartes. Il adore qu'on lui substitue un nombre complexe.
$|\centerdot |$ est la notation infixe pour la valeur absolue
et $m$ est destiné à être remplacé par un entier relatif habitant $\mathbb{Z}$.
Je n'en dirai pas plus, il faut quand même qu'il subsiste un petit bout de problème.
A part l'omission de $m\in\mathbb{Z}$ que j'avoue,
mon énoncé me semble limpide.
GaBuZoMeu écrivait:
> Est-ce que ta question est "Pour quels entiers
> $m$ peut-on ramener la résolution de l'équation
> $x^5+|x|+m=0$ à la résolution d'une suite
> d'équations polynomiales de degré $\leq 4$" ?
Si $|x|+m>0$ alors $x=|x|e^{i\pi/5}e^{2ki\pi/5}$. On pose $u=|x|$, d'où l'équation $u^5-u-m=0,u>0,u>-m$.
Si $|x|+m<0$ alors $x=|x|e^{2ki\pi/5}$. On pose $u=|x|$, d'où l'équation $u^5+u+m=0,-m>u>0$.
$e^{i\pi/5}$ peut s'écrire sous forme de radicaux. Donc demander quand on peut se ramener à résoudre des équations de degré $<5$ signifie que dans un premier temps on veut déterminer pour quelles valeurs de $m$ les polynômes $p=u^5+u+m,\ q=u^5-u-m$ sont résolubles.
i) Si $p$ (resp. $q$) est réductible c'est le cas.
ii)Si $p$ (resp. $q$) est irréductible, il me semble me rappeler que le groupe de Galois vaut $\mathfrak S_5$ et donc le polynôme n'est pas résoluble.
Dans le cas i), il faut ensuite regarder si les racines se trouvent bien dans l'intervalle précité.
Mon raisonnement est qu'il faut transformer le polynôme de degré $5$ en degré $4$ que l'on sait résoudre. Il faut donc une racine complexe. Comme on a $(x-a)(x^4 + a x^3 + a^2 x^2 + a^3 x + \varepsilon + a^4) = x^5 + \varepsilon x - a(\varepsilon + a^4), a \in \C, \varepsilon = \pm 1$, alors il suffit que $m = - a(\varepsilon + a^4), m \in \Z.$
Mais je ne sais pas continuer car il faut discuter les conditions sur $a \in C$ telles que $m \in \Z$ : pour des conditions suffisantes, c'est facile, pour des conditions nécessaires, je ne sais pas.
pour x > 0, ton équation s'écrit $x^5 + x = - m$
la fonction définie par $f(x) = x^5 + x$ monotone croissante a son graphe situé dans le premier quadrant
ton équation admettra alors une racine simple pour m < 0 et zéro racine si m > 0
pour x < 0, ton équation s'écrit $x^5 - x = - m$
la fonction définie par $g(x) = x^5 - x$ a son graphe situé dans le troisième quadrant
elle est monotone croissante pour x appartenant à $]-\infty ; - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}]$
et décroissante pour x appartenant à $[-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}; 0]$
la courbe est tangente à l'axe des abscisses au point $x = - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
ton équation admettra alors deux racines simples si 0 < m < 1, une racine simple si m > 1 et zéro racine si m < 0
au total pour m < 0 ton équation admettra une racine simple positive
pour m = 0 : une racine simple nulle et une racine double négative : $r = - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
0 < m < 1 : deux racines simples négatives l'une inférieure à $-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$ et l'autre comprise entre cette valeur et 0
pour m = 1 : deux racines simples (une est nulle et l'autre est négative inférieure à $- \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$ )
m > 1 : une racine simple inférieure à $ - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
A propos de la réductibilité dans $\mathbb{Z}$ des polynômes $x^5 \pm x+m$, on regarde le cas $p=x^5+x+m$.
Cas 1. $p$ a un facteur de degré $1$. Les $m$ cherchés sont alors l'image de la fonction $f:x\in\mathbb{Z}\rightarrow x^5+x$. On trouve $0,\pm 2,\pm 34,\pm 246,\pm1028,\pm3130,\pm 7782,\pm 16814,\cdots$.
Cas 2. $p$ a un facteur de degré $2$: $x^5+x+m=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$.
On trouve $a+c=0,d+ac+b=0,e+ad+bc=0,ae+bd=1,be=m\not= 0$.
On en déduit $b^2-3a^2b+(a^4+1)=0$ et on obtient ainsi la condition $\Delta=5a^4-4$ est un carré.
Je pense que les seules solutions sont $a=\pm 1$. En tout cas , il n'y en a pas d'autre satisfaisant $|a|\leq 10^6$. Les valeurs de $m$ associées son $\pm 1,\pm 6$.
Proposition; $5p^4-4 $ est un carré ssi $p=\pm 1$.
Proof. On considère l'anneau euclidien $E=\mathbb{Z}[\phi]$ où $\phi=(1+\sqrt{5})/2$ et l'équation $q^2-5p^4=-4$.
Si $\alpha=a+b\phi=u+v\sqrt{5}$ alors sa norme est $N(\alpha)=N(-\alpha)=u^2-5v^2=\dfrac{(2a+b)^2-5b^2}{4}$. En particulier $N(\pm\phi)=-1$.
Les éléments unités de $E$ sont ceux de norme $\pm 1$ ou encore les $\phi^n,-\phi^n$ quand $n\in\mathbb{Z}$ ($N(\phi^n)=N(-\phi^n)=(-1)^n$). Noter que $N(\alpha)=\pm 1$ s'écrit $(2a+b)^2-5b^2=\pm 4$, soit pour nous, la correspondance $2a+b=q,b=p^2$.
Ici on s'intéresse aux éléments de norme $-1$, c'est à dire aux $\phi^n,-\phi^n$ quand $n$ est impair.
Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $\phi^n=F_{n-1}+F_n\phi$ où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci sur $\mathbb{Z}$ définie par $F_0=0,F_1=1$.
Donc la condition qui nous est imposée est $n$ impair et $\pm F_n$ est un carré.
D'après http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,650893,650893
les seuls carrés, au signe près, dans la suite de Fibonacci sont $-F_{-12}=144, -F_{-2}=1,F_{-1}=1,F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_{12}=144$. On conclut en constatant que $0,\pm 2,\pm 12$ sont pairs.
Réponses
Trouver une solution ? Trouver toutes les solutions ? (et que veut dire "trouver" ?). Exprimer les solutions au moyen de radicaux ? Donner de manière certifiée des encadrements des racines réelles, aussi précis que l'on veut ? etc.
Bref, je ne comprends toujours pas ta question.
Bon, reprenons.
Oin-Oin connaît les techniques de résolution sur $\mathbb{C}$ des équations polynomiales de degré $\leq 4$ .
Pour quelles valeurs de $m\in\mathbb{Z}$ peut-il résoudre
$$
x^5+|x|+m=0
$$
$x$ est le $x$ qui hante les équations depuis Descartes. Il adore qu'on lui substitue un nombre complexe.
$|\centerdot |$ est la notation infixe pour la valeur absolue
et $m$ est destiné à être remplacé par un entier relatif habitant $\mathbb{Z}$.
Je n'en dirai pas plus, il faut quand même qu'il subsiste un petit bout de problème.
A part l'omission de $m\in\mathbb{Z}$ que j'avoue,
mon énoncé me semble limpide.
... Oin-Oin peut-il trouver au moins une solution de ...
> Est-ce que ta question est "Pour quels entiers
> $m$ peut-on ramener la résolution de l'équation
> $x^5+|x|+m=0$ à la résolution d'une suite
> d'équations polynomiales de degré $\leq 4$" ?
C'est difficile de répondre "Oui" ou "Non" ?
Si $|x|+m<0$ alors $x=|x|e^{2ki\pi/5}$. On pose $u=|x|$, d'où l'équation $u^5+u+m=0,-m>u>0$.
i) Si $p$ (resp. $q$) est réductible c'est le cas.
ii)Si $p$ (resp. $q$) est irréductible, il me semble me rappeler que le groupe de Galois vaut $\mathfrak S_5$ et donc le polynôme n'est pas résoluble.
Dans le cas i), il faut ensuite regarder si les racines se trouvent bien dans l'intervalle précité.
Trouver $m$ tel que l'un des deux polynômes $x^5\pm x+m$ se factorise.
Le charme est parti, reste le calcul.
Mon raisonnement est qu'il faut transformer le polynôme de degré $5$ en degré $4$ que l'on sait résoudre. Il faut donc une racine complexe. Comme on a $(x-a)(x^4 + a x^3 + a^2 x^2 + a^3 x + \varepsilon + a^4) = x^5 + \varepsilon x - a(\varepsilon + a^4), a \in \C, \varepsilon = \pm 1$, alors il suffit que $m = - a(\varepsilon + a^4), m \in \Z.$
Mais je ne sais pas continuer car il faut discuter les conditions sur $a \in C$ telles que $m \in \Z$ : pour des conditions suffisantes, c'est facile, pour des conditions nécessaires, je ne sais pas.
(2) Ne pas oublier les factorisations $(x^2 ...)(x^3 ...)$
pour x > 0, ton équation s'écrit $x^5 + x = - m$
la fonction définie par $f(x) = x^5 + x$ monotone croissante a son graphe situé dans le premier quadrant
ton équation admettra alors une racine simple pour m < 0 et zéro racine si m > 0
pour x < 0, ton équation s'écrit $x^5 - x = - m$
la fonction définie par $g(x) = x^5 - x$ a son graphe situé dans le troisième quadrant
elle est monotone croissante pour x appartenant à $]-\infty ; - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}]$
et décroissante pour x appartenant à $[-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}; 0]$
la courbe est tangente à l'axe des abscisses au point $x = - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
ton équation admettra alors deux racines simples si 0 < m < 1, une racine simple si m > 1 et zéro racine si m < 0
au total pour m < 0 ton équation admettra une racine simple positive
pour m = 0 : une racine simple nulle et une racine double négative : $r = - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
0 < m < 1 : deux racines simples négatives l'une inférieure à $-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$ et l'autre comprise entre cette valeur et 0
pour m = 1 : deux racines simples (une est nulle et l'autre est négative inférieure à $- \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$ )
m > 1 : une racine simple inférieure à $ - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
cordialement
Cas 1. $p$ a un facteur de degré $1$. Les $m$ cherchés sont alors l'image de la fonction $f:x\in\mathbb{Z}\rightarrow x^5+x$. On trouve $0,\pm 2,\pm 34,\pm 246,\pm1028,\pm3130,\pm 7782,\pm 16814,\cdots$.
Cas 2. $p$ a un facteur de degré $2$: $x^5+x+m=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$.
On trouve $a+c=0,d+ac+b=0,e+ad+bc=0,ae+bd=1,be=m\not= 0$.
On en déduit $b^2-3a^2b+(a^4+1)=0$ et on obtient ainsi la condition $\Delta=5a^4-4$ est un carré.
Je pense que les seules solutions sont $a=\pm 1$. En tout cas , il n'y en a pas d'autre satisfaisant $|a|\leq 10^6$. Les valeurs de $m$ associées son $\pm 1,\pm 6$.
Proof. On considère l'anneau euclidien $E=\mathbb{Z}[\phi]$ où $\phi=(1+\sqrt{5})/2$ et l'équation $q^2-5p^4=-4$.
Si $\alpha=a+b\phi=u+v\sqrt{5}$ alors sa norme est $N(\alpha)=N(-\alpha)=u^2-5v^2=\dfrac{(2a+b)^2-5b^2}{4}$. En particulier $N(\pm\phi)=-1$.
Les éléments unités de $E$ sont ceux de norme $\pm 1$ ou encore les $\phi^n,-\phi^n$ quand $n\in\mathbb{Z}$ ($N(\phi^n)=N(-\phi^n)=(-1)^n$). Noter que $N(\alpha)=\pm 1$ s'écrit $(2a+b)^2-5b^2=\pm 4$, soit pour nous, la correspondance $2a+b=q,b=p^2$.
Ici on s'intéresse aux éléments de norme $-1$, c'est à dire aux $\phi^n,-\phi^n$ quand $n$ est impair.
Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $\phi^n=F_{n-1}+F_n\phi$ où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci sur $\mathbb{Z}$ définie par $F_0=0,F_1=1$.
Donc la condition qui nous est imposée est $n$ impair et $\pm F_n$ est un carré.
D'après http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,650893,650893
les seuls carrés, au signe près, dans la suite de Fibonacci sont $-F_{-12}=144, -F_{-2}=1,F_{-1}=1,F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_{12}=144$. On conclut en constatant que $0,\pm 2,\pm 12$ sont pairs.