Équations de degré 5

Que veut dire "résoudre" ?

Quel est ce sens ?
Trouver une solution ? Trouver toutes les solutions ? (et que veut dire "trouver" ?). Exprimer les solutions au moyen de radicaux ? Donner de manière certifiée des encadrements des racines réelles, aussi précis que l'on veut ? etc.
Bref, je ne comprends toujours pas ta question.

Toto, ou Oin-Oin ?(:D

À part la trivialité $m=0$ je ne vois pas.:-(

GaBuZoMeu écrivait:

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> Est-ce que ta question est "Pour quels entiers
> $m$ peut-on ramener la résolution de l'équation
> $x^5+|x|+m=0$ à la résolution d'une suite
> d'équations polynomiales de degré $\leq 4$" ?

C'est difficile de répondre "Oui" ou "Non" ?

$e^{i\pi/5}$ peut s'écrire sous forme de radicaux. Donc demander quand on peut se ramener à résoudre des équations de degré $<5$ signifie que dans un premier temps on veut déterminer pour quelles valeurs de $m$ les polynômes $p=u^5+u+m,\ q=u^5-u-m$ sont résolubles.
i) Si $p$ (resp. $q$) est réductible c'est le cas.
ii)Si $p$ (resp. $q$) est irréductible, il me semble me rappeler que le groupe de Galois vaut $\mathfrak S_5$ et donc le polynôme n'est pas résoluble.
Dans le cas i), il faut ensuite regarder si les racines se trouvent bien dans l'intervalle précité.

Bonjour,

Mon raisonnement est qu'il faut transformer le polynôme de degré $5$ en degré $4$ que l'on sait résoudre. Il faut donc une racine complexe. Comme on a $(x-a)(x^4 + a x^3 + a^2 x^2 + a^3 x + \varepsilon + a^4) = x^5 + \varepsilon x - a(\varepsilon + a^4), a \in \C, \varepsilon = \pm 1$, alors il suffit que $m = - a(\varepsilon + a^4), m \in \Z.$

Mais je ne sais pas continuer car il faut discuter les conditions sur $a \in C$ telles que $m \in \Z$ : pour des conditions suffisantes, c'est facile, pour des conditions nécessaires, je ne sais pas.

bonsoir

pour x > 0, ton équation s'écrit $x^5 + x = - m$
la fonction définie par $f(x) = x^5 + x$ monotone croissante a son graphe situé dans le premier quadrant

ton équation admettra alors une racine simple pour m < 0 et zéro racine si m > 0


pour x < 0, ton équation s'écrit $x^5 - x = - m$
la fonction définie par $g(x) = x^5 - x$ a son graphe situé dans le troisième quadrant
elle est monotone croissante pour x appartenant à $]-\infty ; - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}]$
et décroissante pour x appartenant à $[-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}; 0]$
la courbe est tangente à l'axe des abscisses au point $x = - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$

ton équation admettra alors deux racines simples si 0 < m < 1, une racine simple si m > 1 et zéro racine si m < 0


au total pour m < 0 ton équation admettra une racine simple positive
pour m = 0 : une racine simple nulle et une racine double négative : $r = - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$
0 < m < 1 : deux racines simples négatives l'une inférieure à $-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$ et l'autre comprise entre cette valeur et 0
pour m = 1 : deux racines simples (une est nulle et l'autre est négative inférieure à $- \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$ )
m > 1 : une racine simple inférieure à $ - \frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}$

cordialement

Proposition; $5p^4-4 $ est un carré ssi $p=\pm 1$.
Proof. On considère l'anneau euclidien $E=\mathbb{Z}[\phi]$ où $\phi=(1+\sqrt{5})/2$ et l'équation $q^2-5p^4=-4$.
Si $\alpha=a+b\phi=u+v\sqrt{5}$ alors sa norme est $N(\alpha)=N(-\alpha)=u^2-5v^2=\dfrac{(2a+b)^2-5b^2}{4}$. En particulier $N(\pm\phi)=-1$.
Les éléments unités de $E$ sont ceux de norme $\pm 1$ ou encore les $\phi^n,-\phi^n$ quand $n\in\mathbb{Z}$ ($N(\phi^n)=N(-\phi^n)=(-1)^n$). Noter que $N(\alpha)=\pm 1$ s'écrit $(2a+b)^2-5b^2=\pm 4$, soit pour nous, la correspondance $2a+b=q,b=p^2$.
Ici on s'intéresse aux éléments de norme $-1$, c'est à dire aux $\phi^n,-\phi^n$ quand $n$ est impair.
Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $\phi^n=F_{n-1}+F_n\phi$ où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci sur $\mathbb{Z}$ définie par $F_0=0,F_1=1$.
Donc la condition qui nous est imposée est $n$ impair et $\pm F_n$ est un carré.
D'après http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,650893,650893
les seuls carrés, au signe près, dans la suite de Fibonacci sont $-F_{-12}=144, -F_{-2}=1,F_{-1}=1,F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_{12}=144$. On conclut en constatant que $0,\pm 2,\pm 12$ sont pairs.