Je suis étudiant et je dois résoudre cet exercice. J'ai essayé plusieurs méthodes de résolutions pour résoudre le point a) mais je n'arrive jamais à une réponse cohérente.
L'équation $AX=X$ admet une solution non nulle si et seulement si le système $(A-I_4)X=0$ en admet une. Je te laisse chercher comment traduire cette dernière éventualité.
Malheureusement, lorsque j'échelonne la nouvelle matrice obtenue, je me retrouve bloqué au même stade qu'à chaque fois. Je suis face à l'égalité:
(a+cste)x4 = 0
Je ne vois vraiment pas comment utiliser cette équation pour avancer
Si vous avez une équation sur a , ça réponds à la question, non? (J'espère que vous avez utilisé l'indication de Poirot pour la trouver, elle me semble fausse )
Bonjour
ta constante doit être $-0.1$, cad , après "échelonnement" tu arrives à une équation de la forme $(a-0.1)x_4=0$
Donc si $a\neq 0.1$ c'est qu'obligatoirement $x_4=0$, puis (systéme " échelonné"), $x_3=0$, etc et la solution $X$ est la solution nulle
Par contre si $a=0.1$ , tu n'as plus que 3 équations , celle-ci-dessus devenant $0x_4=0$
Tu peux alors calculer 3 inconnues en fonction d'une 4ième ( donc infinité de $X$ solutions), puis tu utilises le fait que l'on rajoute une équation (la somme des inconnues $x_i$ est $1$)
Remarque : tu peux vérifier que si $a=0.1$, les lignes initiales de $A-I$ sont effectivement liées : la relation est "visible"
@Poirot: Ce n' est pas ton indication qui me semblait fausse , c 'est l'équation de HG car après avoir calculé le déterminant (c'est ce vers quoi vous avez essayé de le guider,non?) , je n'ai pas eu la même chose . Je me suis mal éxprimée .
l'équation matricielle AX = X implique que A soit une matrice carrée
admettant une valeur propre égale à 1 correspondant au vecteur propre X
dans le cas d'une matrice A de format 2X2 égale à $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
avec ad - bc différent de 0 (la matrice A est supposée inversible) ce qui revient à a + d différent de 1
alors il faut que (1 - a)(1 - d) = bc
si X vecteur a pour coordonnées u et v, et a et d différents de 1 :
v étant fixée (paramètre) alors $u = \frac{bv}{1 - a}$
soit une infinité de valeurs de u pour v fixée (u et v proportionnelles)
Réponses
(a+cste)x4 = 0
Je ne vois vraiment pas comment utiliser cette équation pour avancer
Doit-on résoudre la question (a) à la main ou bien avec un outil électronique ?
A-t-on droit aux déterminants ?
ta constante doit être $-0.1$, cad , après "échelonnement" tu arrives à une équation de la forme $(a-0.1)x_4=0$
Donc si $a\neq 0.1$ c'est qu'obligatoirement $x_4=0$, puis (systéme " échelonné"), $x_3=0$, etc et la solution $X$ est la solution nulle
Par contre si $a=0.1$ , tu n'as plus que 3 équations , celle-ci-dessus devenant $0x_4=0$
Tu peux alors calculer 3 inconnues en fonction d'une 4ième ( donc infinité de $X$ solutions), puis tu utilises le fait que l'on rajoute une équation (la somme des inconnues $x_i$ est $1$)
Remarque : tu peux vérifier que si $a=0.1$, les lignes initiales de $A-I$ sont effectivement liées : la relation est "visible"
CH
[L'énoncé était dans le titre, que j'ai rétabli. AD]
l'équation matricielle AX = X implique que A soit une matrice carrée
admettant une valeur propre égale à 1 correspondant au vecteur propre X
dans le cas d'une matrice A de format 2X2 égale à $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
avec ad - bc différent de 0 (la matrice A est supposée inversible) ce qui revient à a + d différent de 1
alors il faut que (1 - a)(1 - d) = bc
si X vecteur a pour coordonnées u et v, et a et d différents de 1 :
v étant fixée (paramètre) alors $u = \frac{bv}{1 - a}$
soit une infinité de valeurs de u pour v fixée (u et v proportionnelles)
cordialement