Corps ordonnés

Si $A$ est un anneau (commutatif intègre) ordonné alors $k = \text{Frac}(A)$ est un corps ordonné par $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ si $ad > bc$, $ b >0, d > 0$.

On peut aussi mettre un ordre sur les polynômes $A[x]$ en comparant le terme de plus haut degré, puis le suivant, etc, et donc sur $k(x) = \text{Frac}(A[x])$

En prenant $A = \mathbb{R}$ on peut donc mettre un ordre sur $B_1 = \mathbb{R}[x_1]$ et $B_{n+1} = B_n[x_{n+1}] = \mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ et sur $B_\omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n$ ainsi que sur leurs corps de fractions respectifs.

On se demande alors si on peut rajouter un élément $y$ tel que $B_\omega[y]$ soit ordonné et non isomorphe à $B_\omega$ (en tant qu'anneau ordonné) et pour ça il suffit de dire que $y$ est un terme de plus haut degré que n'importe quels produits de puissances des $x_n$.

Puis on recommence ainsi de suite en regardant $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_\omega[y_1,\ldots,y_n]$.