valeurs propre d'une matrice
Bonjour,
Soit $a\ge 4$ un paramètre fixé. On pose $ch(\theta)=\sqrt{1+4a}$, $sh(\theta)=2\sqrt{a}$ et $th(\theta)=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{1+4a}}$.
Et On considère la matrice suivante
$A_{\pm}(t)=e^{\pm \frac{t}{2}}ch^2(\frac{t}{4}ch(\theta))\begin {pmatrix}1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\mp 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)} & \mp 2 \frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}sh(\theta)\\ \pm 2 \frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}sh(\theta)& 1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\pm 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\end{pmatrix}$
pour tout $t\ge 0$
Je veux calculer les valeurs propre de $A_{\pm}(t)$
Voila ce que j'ai écrit:
$det(A_{\pm}(t)-\lambda I )=0$ ssi
$\lambda^2-2\lambda \Big(1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\Big)+\Big( 1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\mp 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2+\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2=0$
Le déterminant de cette équation est
$\Delta =4\Big(1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\Big)^2-4\Big[\Big( 1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\mp 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2+\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2\Big]$
$\Delta=0$ ssi $-2\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2\pm 2\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)\Big(1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\Big)=0$
Mais je suis bloqué ici. Y a t-il une astuce pour simplifier las calculs
Soit $a\ge 4$ un paramètre fixé. On pose $ch(\theta)=\sqrt{1+4a}$, $sh(\theta)=2\sqrt{a}$ et $th(\theta)=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{1+4a}}$.
Et On considère la matrice suivante
$A_{\pm}(t)=e^{\pm \frac{t}{2}}ch^2(\frac{t}{4}ch(\theta))\begin {pmatrix}1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\mp 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)} & \mp 2 \frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}sh(\theta)\\ \pm 2 \frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}sh(\theta)& 1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\pm 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\end{pmatrix}$
pour tout $t\ge 0$
Je veux calculer les valeurs propre de $A_{\pm}(t)$
Voila ce que j'ai écrit:
$det(A_{\pm}(t)-\lambda I )=0$ ssi
$\lambda^2-2\lambda \Big(1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\Big)+\Big( 1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\mp 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2+\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2=0$
Le déterminant de cette équation est
$\Delta =4\Big(1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\Big)^2-4\Big[\Big( 1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\mp 2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2+\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2\Big]$
$\Delta=0$ ssi $-2\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)^2\pm 2\Big(2\frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}\Big)\Big(1-\frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}(sh^2(\theta)-1)\Big)=0$
Mais je suis bloqué ici. Y a t-il une astuce pour simplifier las calculs
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Réponses
J'ai bien écrit la bonne matrice.
si $A=aI+bM$ avec
$b=\pm 2 \frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}$
Pour les coefficients diagonal on a le terme $2 \frac{th(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch(\theta)}$ (sans carrée) et non pas $2 \frac{th^2(\frac{t}{4}ch(\theta))}{ch^2(\theta)}$, vous avez remarqué ça?