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Sous-groupes de (Z/pZ)^2

Envoyé par Skywear 
Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Bonjour/Bonsoir, l'objectif de l'exercice que je cherche à résoudre est de caractériser les sous-groupes de ((Z/pZ)^2,+) avec p premier.
En particulier, on veut montrer qu'il existe des sous-groupes de (Z/pZ)^2 qui ne sont pas des produits de deux sous-groupes de Z/pZ.

Pour ce faire, j'ai comme indication de commencer par montrer qu'un sous-groupe de (Z/pZ)^2 différent de {(0,0)} et (Z/pZ)^2 est cyclique. Mais je ne vois vraiment pas comment procéder. Je sais que Z/pZ est cyclique, donc ses sous-groupes le sont aussi, mais (Z/pZ)^2 ne l'est visiblement pas... (enfin, sauf erreur de ma part).

Après avoir démontré ce résultat, je pense que je pourrai conclure : si je sais qu'ils sont cycliques, je sais plus ou moins montrer que ce sont exactement les sous-groupes engendrés par (0,1) et (1,i) pour i dans [|0,p-1|]. Il y a donc p+3 sous-groupes de (Z/pZ)^2, et p+3>4 car p est premier (4 étant le nombre de sous-groupes de la forme G*H où G et H sont des sous-groupes de Z/pZ), d'où le résultat.

Je ne suis pas contre un peu d'aide... grinning smiley



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Skywear.
AD
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
avatar
Bonsoir Skywear
Connais-tu Lagrange ?
Quels sont les ordres possibles pour les sous-groupes de $(\Z/p\Z)^2$ ?
Alain



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Oui, je connais le théorème de Lagrange, même si ça reste assez nouveau pour moi. grinning smiley

Si je ne dis pas de bêtises, (Z/pZ)^2 est d'ordre p^2 donc un sous groupe de (Z/pZ)^2 est d'ordre 1, p ou p^2 puisque p est premier.
Et... si un tel sous-groupe est d'ordre 1, c'est {0}, et s'il est d'ordre p^2, c'est (Z/pZ)^2 en entier c'est ça ?
Du coup, les sous-groupes que l'on cherche sont tous d'ordre p. Et comme un groupe de cardinal p premier est toujours cyclique, les sous-groupes en question sont tous cycliques ! C'est bien ça ?
AD
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
avatar
Skywear thumbs down
Alain



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Merci !
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
$(\Z/p\Z)^2$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\Z/p\Z$, et les sous-groupes de son groupe additif sont les mêmes que ses sous-espaces vectoriels. Les sous-groupes non triviaux sont donc les droites vectorielles, isomorphes à $\Z/p\Z$.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
avatar
Citation
Skywear
En particulier, on veut montrer qu'il existe des sous-groupes de (Z/pZ)^2 qui ne sont pas des produits de deux sous-groupes de Z/pZ.

Vraiment?

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
GabuZoMeu, je dois reconnaître que j'ai du mal à suivre ta démonstration...

Fin de partie, au vu de ce que j'avais dit je crois que c'est vrai : Les sous-groupes de (Z/pZ) ({0} et (Z/pZ)^2 exclus) sont exactement "les sous-groupes engendrés par (0,1) et (1,i) pour i dans [|0,p-1|]", qui sont tous distincts. "Il y a donc p+3 sous-groupes de (Z/pZ)^2, et p+3>4 car p est premier (4 étant le nombre de sous-groupes de la forme G*H où G et H sont des sous-groupes de Z/pZ)"
Il y a une erreur dans le raisonnement ? confused smiley

D'ailleurs, j'ai plus de mal que prévu à montrer que ces sous-groupes sont les sous-groupes engendrés par (0,1) et les (1,i).
Je prends un générateur (x,y) d'un de ces sous-groupes (notons le G). Si x=0, il est clair que G est le groupe engendré par (0,1), mais si x=/=0, je ne vois pas bien comment montrer que c'est l'un des <(1,i)>. J'ai envie de dire que comme x=/=0, x est inversible dans Z/pZ, et que <(x,y)>=<(xx^-1,yx^-1)>=(1,yx^-1), mais euh... je ne vois pas comment le justifier sad smiley



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Skywear.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
avatar
Par exemple, $\{0\}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ n'est pas un produit de sous-groupes de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$?

PS:
Ton compte des sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^2$ ne me semble pas correct.
Ce nombre ne dépend pas de $p$ premier.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Ben c'est l'un de ceux qui s'écrit comme produit de deux sous-groupes de Z/pZ. On affirme juste qu'il en existe un qui ne s'écrit pas comme ça
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Qu'est-ce qui te pose problème ? Le fait que $\Z/p\Z$ soit un corps, sur lequel on peut faire de l'algèbre linéaire ? Le fait qu'un sous-groupe additif d'un espace vectoriel sur $\Z/p\Z$ soit automatiquement un sous-espace vectoriel, parce que les scalaires sont les classes modulo $p$ d'entiers ?
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
avatar
Skywear:
Lequel ne s'écrit pas comme un produit de sous-groupes de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
GaBuZoMeu, avec ces rappels je comprends mieux l'idée, merci. C'est élégant comme raisonnement

Fin de partie, bonne question, en tout cas on ne cherche pas à en exhiber un dans l'exercice



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Skywear.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
@FDP : par exemple le sous-groupe engendré par $(1,1)$ ne s'écrit pas comme un produit de sous-groupes de $\mathbb Z/p \mathbb Z$. Il y a en tout $4$ tels produits.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Fin de partie &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Ton compte des sous-groupes de
> $\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^2$ ne me
> semble pas correct.
> Ce nombre ne dépend pas de $p$ premier.

Comment le vois-tu ?
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
@Skywear : dans tous les cas, un groupe d'ordre $p$ est toujours isomorphe à $\mathbb Z/p \mathbb Z$ (exercice). Du coup si tu cherches un sous-groupe d'ordre $p$ de $(\mathbb Z/p \mathbb Z)^2$, tu es obligé de prendre un groupe cyclique, donc engendré par un seul élément, et donc une droite vectorielle en prenant le point de vue donné par GBZM (qui est d'ailleurs "le" bon point de vue quand on s'intéresse aux groupes d'automorphisme de tels groupes par exemple).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Le nombre de sous-groupe dépend bien entendu de $p$. Affirmer le contraire est une erreur de FdP.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
En l'occurrence, et comme le disait Skywear, il y a bien $p+3$ sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \right)^2$.

Plus généralement, le nombre de sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \right)^2$ est égal à
$$n \sum_{d \mid n} \frac{\tau\left( d^2 \right)}{d}$$
où, pour ceux qui ne sont pas familiers avec les fonctions arithmétiques usuelles de la théorie des nombres, $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs de $n$.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
D'accord, merci pour cette confirmation.

Sinon, je ne parviens toujours pas à montrer que les sous-groupes propres de (Z/pZ)^2, qui sont donc cycliques, sont exactement les sous-groupes engendrés par (0,1) et les (1,i) avec 0<=i<p (ce qui me donne qu'il y en a p+1). Est-ce quelqu'un pourrait m'aider pour ça ?



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Skywear.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Tu considères un sous-groupe $H$ cyclique d'ordre $p$, et tu prends $(a,b)$ un générateur. En donnant une description de tous les éléments de $H$, tu devrais voir qu'il y en a forcément au moins un de la forme dont tu parles. Ensuite, quels sont les ordres des éléments non nul de $H$ ? Avec ceci tu devrais pouvoir conclure.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
D'accord, merci. Voilà ce que j'ai fait en suivant tes indications :

Soit (a,b) un générateur de H cyclique d'ordre p.

Premier cas : si a = 0, alors b n'est pas nul car dans le cas contraire H=<(a,b)> serait restreint à {(0,0)}. Ainsi, b est inversible dans Z/pZ donc on dispose de c tel que bc=1 ; en particulier, (0,1) est un élément du groupe engendré par (0,b), donc <(0,1)> est inclus dans H.
L'inclusion réciproque étant immédiate, H=<(0,1)>.

Deuxième cas : si a=/=0, alors a est inversible dans Z/pZ donc par le même argument que précédemment, (1,b) est un élément de H. <(1,b)> est donc inclus dans H. Là aussi, l'inclusion réciproque est immédiate : H = <(1,b)>.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Skywear.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Pourquoi l'inclusion réciproque est-elle immédiate ? Sinon c'est tout bon smiling smiley
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Si x est un élément de <(0,b)> il s'écrit x=(0,kb) donc c'est un élément de <(0,1)>

Mais effectivement dans le deuxième cas elle ne me semble pas aussi claire que ce que je pensais...

Je me rends compte qu'il y a en fait une erreur ici :
"si a=/=0, alors a est inversible dans Z/pZ donc par le même argument que précédemment, (1,b) est un élément de H. <(1,b)> est donc inclus dans H. Là aussi, l'inclusion réciproque est immédiate : H = <(1,b)>."
c'est (1,a^-1b) qui est un élément de H, pas (1,b). Et là la réciproque devient claire :
Si x est un élément de <(a,b)> il s'écrit x=(ka,kb), et pour k'=ka (abus de notation...) on a x=(k',k'a^-1b) qui est dans <(1,a^-1b)>.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Skywear.
Re: Sous-groupes de (Z/pZ)^2
l’an passé
Ça m'a l'air de fonctionner. Sinon tu pouvais suivre l'indication de mon message d'avant : l'ordre de tout élément non trivial d'un groupe d'ordre $p$ est $p$ (exercice). On en déduit immédiatement que tout élément non trivial d'un tel groupe engendre ce groupe !
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