Sous-groupes de (Z/pZ)^2
Bonjour/Bonsoir, l'objectif de l'exercice que je cherche à résoudre est de caractériser les sous-groupes de ((Z/pZ)^2,+) avec p premier.
En particulier, on veut montrer qu'il existe des sous-groupes de (Z/pZ)^2 qui ne sont pas des produits de deux sous-groupes de Z/pZ.
Pour ce faire, j'ai comme indication de commencer par montrer qu'un sous-groupe de (Z/pZ)^2 différent de {(0,0)} et (Z/pZ)^2 est cyclique. Mais je ne vois vraiment pas comment procéder. Je sais que Z/pZ est cyclique, donc ses sous-groupes le sont aussi, mais (Z/pZ)^2 ne l'est visiblement pas... (enfin, sauf erreur de ma part).
Après avoir démontré ce résultat, je pense que je pourrai conclure : si je sais qu'ils sont cycliques, je sais plus ou moins montrer que ce sont exactement les sous-groupes engendrés par (0,1) et (1,i) pour i dans [|0,p-1|]. Il y a donc p+3 sous-groupes de (Z/pZ)^2, et p+3>4 car p est premier (4 étant le nombre de sous-groupes de la forme G*H où G et H sont des sous-groupes de Z/pZ), d'où le résultat.
Je ne suis pas contre un peu d'aide... :-D
En particulier, on veut montrer qu'il existe des sous-groupes de (Z/pZ)^2 qui ne sont pas des produits de deux sous-groupes de Z/pZ.
Pour ce faire, j'ai comme indication de commencer par montrer qu'un sous-groupe de (Z/pZ)^2 différent de {(0,0)} et (Z/pZ)^2 est cyclique. Mais je ne vois vraiment pas comment procéder. Je sais que Z/pZ est cyclique, donc ses sous-groupes le sont aussi, mais (Z/pZ)^2 ne l'est visiblement pas... (enfin, sauf erreur de ma part).
Après avoir démontré ce résultat, je pense que je pourrai conclure : si je sais qu'ils sont cycliques, je sais plus ou moins montrer que ce sont exactement les sous-groupes engendrés par (0,1) et (1,i) pour i dans [|0,p-1|]. Il y a donc p+3 sous-groupes de (Z/pZ)^2, et p+3>4 car p est premier (4 étant le nombre de sous-groupes de la forme G*H où G et H sont des sous-groupes de Z/pZ), d'où le résultat.
Je ne suis pas contre un peu d'aide... :-D
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Réponses
Connais-tu Lagrange ?
Quels sont les ordres possibles pour les sous-groupes de $(\Z/p\Z)^2$ ?
Alain
Si je ne dis pas de bêtises, (Z/pZ)^2 est d'ordre p^2 donc un sous groupe de (Z/pZ)^2 est d'ordre 1, p ou p^2 puisque p est premier.
Et... si un tel sous-groupe est d'ordre 1, c'est {0}, et s'il est d'ordre p^2, c'est (Z/pZ)^2 en entier c'est ça ?
Du coup, les sous-groupes que l'on cherche sont tous d'ordre p. Et comme un groupe de cardinal p premier est toujours cyclique, les sous-groupes en question sont tous cycliques ! C'est bien ça ?
Alain
Vraiment?
Fin de partie, au vu de ce que j'avais dit je crois que c'est vrai : Les sous-groupes de (Z/pZ) ({0} et (Z/pZ)^2 exclus) sont exactement "les sous-groupes engendrés par (0,1) et (1,i) pour i dans [|0,p-1|]", qui sont tous distincts. "Il y a donc p+3 sous-groupes de (Z/pZ)^2, et p+3>4 car p est premier (4 étant le nombre de sous-groupes de la forme G*H où G et H sont des sous-groupes de Z/pZ)"
Il y a une erreur dans le raisonnement ? :-S
D'ailleurs, j'ai plus de mal que prévu à montrer que ces sous-groupes sont les sous-groupes engendrés par (0,1) et les (1,i).
Je prends un générateur (x,y) d'un de ces sous-groupes (notons le G). Si x=0, il est clair que G est le groupe engendré par (0,1), mais si x=/=0, je ne vois pas bien comment montrer que c'est l'un des <(1,i)>. J'ai envie de dire que comme x=/=0, x est inversible dans Z/pZ, et que <(x,y)>=<(xx^-1,yx^-1)>=(1,yx^-1), mais euh... je ne vois pas comment le justifier :-(
PS:
Ton compte des sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^2$ ne me semble pas correct.
Ce nombre ne dépend pas de $p$ premier.
Lequel ne s'écrit pas comme un produit de sous-groupes de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?
Fin de partie, bonne question, en tout cas on ne cherche pas à en exhiber un dans l'exercice
> Ton compte des sous-groupes de
> $\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^2$ ne me
> semble pas correct.
> Ce nombre ne dépend pas de $p$ premier.
Comment le vois-tu ?
Plus généralement, le nombre de sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \right)^2$ est égal à
$$n \sum_{d \mid n} \frac{\tau\left( d^2 \right)}{d}$$
où, pour ceux qui ne sont pas familiers avec les fonctions arithmétiques usuelles de la théorie des nombres, $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs de $n$.
Sinon, je ne parviens toujours pas à montrer que les sous-groupes propres de (Z/pZ)^2, qui sont donc cycliques, sont exactement les sous-groupes engendrés par (0,1) et les (1,i) avec 0<=i<p (ce qui me donne qu'il y en a p+1). Est-ce quelqu'un pourrait m'aider pour ça ?
Soit (a,b) un générateur de H cyclique d'ordre p.
Premier cas : si a = 0, alors b n'est pas nul car dans le cas contraire H=<(a,b)> serait restreint à {(0,0)}. Ainsi, b est inversible dans Z/pZ donc on dispose de c tel que bc=1 ; en particulier, (0,1) est un élément du groupe engendré par (0,b), donc <(0,1)> est inclus dans H.
L'inclusion réciproque étant immédiate, H=<(0,1)>.
Deuxième cas : si a=/=0, alors a est inversible dans Z/pZ donc par le même argument que précédemment, (1,b) est un élément de H. <(1,b)> est donc inclus dans H. Là aussi, l'inclusion réciproque est immédiate : H = <(1,b)>.
Mais effectivement dans le deuxième cas elle ne me semble pas aussi claire que ce que je pensais...
Je me rends compte qu'il y a en fait une erreur ici :
"si a=/=0, alors a est inversible dans Z/pZ donc par le même argument que précédemment, (1,b) est un élément de H. <(1,b)> est donc inclus dans H. Là aussi, l'inclusion réciproque est immédiate : H = <(1,b)>."
c'est (1,a^-1b) qui est un élément de H, pas (1,b). Et là la réciproque devient claire :
Si x est un élément de <(a,b)> il s'écrit x=(ka,kb), et pour k'=ka (abus de notation...) on a x=(k',k'a^-1b) qui est dans <(1,a^-1b)>.