isomorphisme entre deux produit semi-direct

Bonsoir Karochta
Comme l'indique le contre-exemple de $D_6\simeq \mathfrak S_3\times C_2\simeq \mathfrak S_3\rtimes_r C_2$ donné par b.b, il est possible qu'un même groupe soit obtenu par deux produits semi-directs différents de sous-groupes deux-à-deux isomorphes.
Pour montrer que tes deux groupes $G_1=C_5\rtimes_\sigma C_4$ et $G_2=C_5\rtimes_{\sigma^2}C_4$ ne sont pas isomorphes, il faut trouver un autre argument.
Ici, un argument peut être que $G_1$ contient cinq éléments d'ordre 2 alors que $G_2$ n'en contient qu'un seul.
Un autre argument peut être que $G_2$ admet quatre éléments d'ordre 10 alors que $G_1$ n'en contient aucun.
Sans tenir compte des ordres, on peut montrer que le centre de $G_1$ est trivial alors que celui de $G_2$ est d'ordre 2, précisément engendré par cet unique élément d'ordre 2.
Alain

Re-bonsoir Karochta
Il y a en effet de manière plus générale l'associativité "à droite" du produit semi-direct.
$A\rtimes_u(B\rtimes_v C) \simeq (A\rtimes_{u|_B}B)\rtimes_w C$
l'associativité n'étant que dans un sens, c'est-à-dire que la donnée de $u:B\rtimes_v C\to \mathrm{Aut}(A)$ et de $v: C\to \mathrm{Aut}(B)$ permet de construire un morphisme $w:C\to \mathrm{Aut}(A\rtimes_{u|_B} $ définissant le produit semi-direct $(A\rtimes_{u|_B}B)\rtimes_w C$ isomorphe à $A\rtimes_u(B\rtimes_v C)$.
Malheureusement cela ne marche pas dans l'autre sens, la donnée de $u':B\to \mathrm{Aut}(A)$ et de $w:C\to \mathrm{Aut}(A\rtimes_{u'} $ ne permet pas (sauf cas particuliers) de construire un morphisme $v:C\to \mathrm{Aut}(B)$ permettant de définir un produit direct $A\rtimes_{u'}(B\rtimes_v C) $ qui serait isomorphe à $(A\rtimes_{u'}B)\rtimes_w C$.
Note : Cela est expliqué en détails dans mon livre dans la section X.2, p273. Si tu as la possibilité de le consulter en bibliothèque, tu y trouveras réponses aux questions que tu te poses ici.

Un cas particulier qui marche est lorsque $B$ est caractéristique dans $A\rtimes_{u'} B$ donc $B$ distingué et le produit semi-direct est alors ramené au produit direct $A\times B$.
Ce qui donne alors l'associativité (qui marche dans les deux sens) que je comprends que tu mentionnes sous le nom d'associativité mixte :
$A\times(B\rtimes_v C) \simeq (A\times \rtimes_w C$.
Attention : il faut que $B$ soit caractéristique dans $A\times B$ pour qu'un morphisme $w:C\to \mathrm{Aut}(A\times $ puisse induire un morphisme $v:C\to\mathrm{Aut}(B)$.

Appliqué dans le cas de $D_6=C_2\times D_3=C_2\times(C_3\rtimes_v C_2)$ où, pour que $C_3\rtimes_v C_2=D_3$, on a défini $v(c)=(b\mapsto b^{-1})$ (en notant $a,b,c$ respectivement un générateur de $A=C_2,\ B=C_3$ et $C=C_2$).
Alors $D_6$ peut aussi se décomposer en $D_6=(C_2\times C_3)\rtimes_w C_2= C_6\rtimes_{w'} C_2$, parce que $B=C_3$ est caractéristique dans $A\times B=C_2\times C_3\simeq C_6$. On notera au passage que $w:C_2\to \mathrm{Aut}(C_2\times C_3)$ est donné par $w(c)=\begin{pmatrix}a&\mapsto&a\\b&\mapsto&b^{-1}\end{pmatrix}$, qui induit bien $w':C_2\to\mathrm{Aut}(C_6)$ défini par $w'(c)=\big(ab\mapsto ab^{-1}=(ab)^{-1}\big)$, car $ab$ est un générateur de $C_6$ et $C_6$ est commutatif.

Pour ce qui est de l'autre décomposition $D_6 \simeq \mathfrak S_3\rtimes C_2$, note que maintenant seul $\mathfrak S_3$ est distingué dans $D_6$, et pas $C_2$ contrairement à la première décomposition. Il est alors impossible de déduire cette dernière décomposition de la première, sauf à expliciter un isomorphisme spécifique.
Alain