En général, si $\mathcal{C}=(C_., d_.^{\,\mathcal{C}})$ et $\mathcal{D}=(D_., d_.^\mathcal{D})$ sont deux complexes de $R$-modules et si $f,g:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{D}$ sont deux morphismes de complexes, on dit que $f$ et $g$ sont homotopes s'il existe une famille de morphismes $(\delta_n:C_n\longrightarrow D_{n+1})_{n\in\Bbb Z}$ telle que pour $n\in\Bbb Z$ on ait $d_{n+1}^\mathcal{D}\delta_n+\delta_{n-1}d_n^{\,\mathcal{C}}=f_n-g_n$.
On dit que le complexe $\mathcal{C}$ est contractile si $id_{\mathcal{C}}$ est homotope à $0$.
D'accord. L'exemple suivant me semble marcher : pour la suite exacte de $\Z$-modules $0\to\Z/4\Z\to\Z/8\Z\to\Z/2\Z\to0$, le seul morphisme non nul $\delta:\Z/2\Z\to\Z/8\Z$ aboutit dans l'image de $\Z/4\Z\to\Z/8\Z$ et donc sa composée avec la différentielle est nulle : $d\delta=0$.
\[\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\xymatrix{0\ar[r]&\Z/4\Z\ar[d]^{\id}\ar[r]&\Z/8\Z\ar[d]^{\id}\ar[r]&\Z/2\Z\ar[d]^{\id}\ar[r]\ar[dl]_{\delta}&0\\
0\ar[r]&\Z/4\Z\ar[r]&\Z/8\Z\ar[r]^{d}&\Z/2\Z\ar[r]&0}\]
Par conséquent, on ne peut pas avoir $d\delta=\id$.
NB : J'ai mis $\Z/4\Z$ et $\Z/8\Z$ pour distinguer les modules mais $\Z/2\Z$ et $\Z/4\Z$ auraient aussi bien fonctionné. On peut convertir ça très facilement en $K[X]$-modules avec des matrices nilpotentes.
Je me demande ce qu'il se passe dans le cas où la suite exacte n'est pas bornée (au sens où on n'a pas $C_{n}=0$ pour $|n|$ assez grand). Existe-t-il encore un tel exemple?
En gardant la même idée, si on prend $C_n=\Z/4\Z$ pour tout $n$ dans $\Z$ et $C_n\to C_{n-1}$, $k\mapsto2k$, ça ne marche pas ? (Il faut voir si la composée $\delta_{n-1}d_n$ est nécessairement nulle.)
En effet ça marche : pour $n\in\Bbb Z$ on a nécessairement $d_{n+1}\delta_n+\delta_{n-1}d_n$ qui a son image dans $2( \Bbb Z/4\Bbb Z)$, donc ne peut être égale à $id_{\Bbb Z/4\Bbb Z}$.
Réponses
On dit que le complexe $\mathcal{C}$ est contractile si $id_{\mathcal{C}}$ est homotope à $0$.
\[\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\xymatrix{0\ar[r]&\Z/4\Z\ar[d]^{\id}\ar[r]&\Z/8\Z\ar[d]^{\id}\ar[r]&\Z/2\Z\ar[d]^{\id}\ar[r]\ar[dl]_{\delta}&0\\
0\ar[r]&\Z/4\Z\ar[r]&\Z/8\Z\ar[r]^{d}&\Z/2\Z\ar[r]&0}\]
Par conséquent, on ne peut pas avoir $d\delta=\id$.
NB : J'ai mis $\Z/4\Z$ et $\Z/8\Z$ pour distinguer les modules mais $\Z/2\Z$ et $\Z/4\Z$ auraient aussi bien fonctionné. On peut convertir ça très facilement en $K[X]$-modules avec des matrices nilpotentes.
Je me demande ce qu'il se passe dans le cas où la suite exacte n'est pas bornée (au sens où on n'a pas $C_{n}=0$ pour $|n|$ assez grand). Existe-t-il encore un tel exemple?