K-algèbre t-indécomposable
Bonjour à tous,
Soit $K$ un corps commutatif et $A$ une K-algèbre (associative et unitaire). On dit que $A$ est tensoriellement indécomposable (en abrégé t-indécomposable) si pour toutes sous-algèbres $A_1$ et $A_2$ de $A$, si $A\simeq\underset{K}{A_{1}\otimes A_{2}}$, alors $A_1\simeq K$ ou $A_2\simeq K$. Dans le cas contraire, on dit que $A$ est t-décomposable.
Par exemple l'algèbre des polynômes à deux variables $K[X,Y]$ est t-décomposable puisque on a
$$K[X,Y]\simeq\underset{K}{K[X]\otimes K[Y]}.$$
Je cherche à traiter quelques exemples pour comprendre les choses. Je me pose donc la question suivante : L'algèbre $K[X]$ des polynômes à une variable est t-indécomposable. Je pense que c'est vraie mais je ne sais pas par où commencer pour le démontrer !!!
Soit $K$ un corps commutatif et $A$ une K-algèbre (associative et unitaire). On dit que $A$ est tensoriellement indécomposable (en abrégé t-indécomposable) si pour toutes sous-algèbres $A_1$ et $A_2$ de $A$, si $A\simeq\underset{K}{A_{1}\otimes A_{2}}$, alors $A_1\simeq K$ ou $A_2\simeq K$. Dans le cas contraire, on dit que $A$ est t-décomposable.
Par exemple l'algèbre des polynômes à deux variables $K[X,Y]$ est t-décomposable puisque on a
$$K[X,Y]\simeq\underset{K}{K[X]\otimes K[Y]}.$$
Je cherche à traiter quelques exemples pour comprendre les choses. Je me pose donc la question suivante : L'algèbre $K[X]$ des polynômes à une variable est t-indécomposable. Je pense que c'est vraie mais je ne sais pas par où commencer pour le démontrer !!!
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Réponses
Comme $A_1$ contient un polynôme $P$ non constant, $A_1$ contient une sous-algèbre isomorphe à $K[X]$, à savoir $K[P]$ ; idem pour $A_2$. Dans ce cas, $K[X]$ contient une sous-algèbre isomorphe à $K[X,Y]$ d'après ta remarque. C'est peu plausible !
On peut invoquer le degré de transcendance du corps des fractions au-dessus de $K$ ($2$ pour $A_1\otimes A_2$, $1$ pour $K[X]$) mais ça paraît surdimensionné.
Est ce que il y a des articles sur le sujet ???