Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
92 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

K-algèbre t-indécomposable

Envoyé par Dieudo 
K-algèbre t-indécomposable
il y a neuf mois
Bonjour à tous,

Soit $K$ un corps commutatif et $A$ une K-algèbre (associative et unitaire). On dit que $A$ est tensoriellement indécomposable (en abrégé t-indécomposable) si pour toutes sous-algèbres $A_1$ et $A_2$ de $A$, si $A\simeq\underset{K}{A_{1}\otimes A_{2}}$, alors $A_1\simeq K$ ou $A_2\simeq K$. Dans le cas contraire, on dit que $A$ est t-décomposable.

Par exemple l'algèbre des polynômes à deux variables $K[X,Y]$ est t-décomposable puisque on a
$$K[X,Y]\simeq\underset{K}{K[X]\otimes K[Y]}.$$

Je cherche à traiter quelques exemples pour comprendre les choses. Je me pose donc la question suivante : L'algèbre $K[X]$ des polynômes à une variable est t-indécomposable. Je pense que c'est vraie mais je ne sais pas par où commencer pour le démontrer !!!
Re: K-algèbre t-indécomposable
il y a neuf mois
Supposons qu'il existe deux sous-algèbres unitaires $A_1$ et $A_2$ de $K[X]$ et un isomorphisme $f:A_1\otimes A_2\to K[X]$.

Comme $A_1$ contient un polynôme $P$ non constant, $A_1$ contient une sous-algèbre isomorphe à $K[X]$, à savoir $K[P]$ ; idem pour $A_2$. Dans ce cas, $K[X]$ contient une sous-algèbre isomorphe à $K[X,Y]$ d'après ta remarque. C'est peu plausible !

On peut invoquer le degré de transcendance du corps des fractions au-dessus de $K$ ($2$ pour $A_1\otimes A_2$, $1$ pour $K[X]$) mais ça paraît surdimensionné.
Re: K-algèbre t-indécomposable
il y a neuf mois
Merci Math Coss, ça me parraît correcte, mais le fait que $K[X]$ ne contient pas de sous-algèbres isomorphes à $K[X,Y]$ n'est pas toute à fait clair pour ma part. C'est à cause de la différence des dégrés de transcendance ?
Re: K-algèbre t-indécomposable
il y a neuf mois
Une question que je trouve très intéressante : on ne peut pas espérer un résultat à la Krull-Schmidt pour les $K$-algèbres dans un cas raisonnable ? C'est-à-dire, peut-on espérer que toute $K$-algèbre (disons de type fini par exemple) se décompose de façon unique comme produit tensorielle d'algèbres t-indécomposables ???

Est ce que il y a des articles sur le sujet ???
Re: K-algèbre t-indécomposable
il y a neuf mois
Voici un argument plus économique que le degré de transcendance pour conclure. Soit $A_2$ une sous-algèbre de $K[X]$ contenant un polynôme non constant. Alors $X$ est algébrique sur $A_2$ donc tout élément de $K[X]$ est algébrique sur $A_2$. Mais dans $A_1\otimes A_2$, les éléments de $A_1$ ne sont pas algébriques sur $A_2$ (par exemple, $X$ n'est pas algébrique sur $K[Y]$ dans $K[X,Y]$).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Math Coss.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 129 100, Messages: 1 238 411, Utilisateurs: 21 244.
Notre dernier utilisateur inscrit steeeeV.


Ce forum
Discussions: 15 788, Messages: 152 987.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page