Sous-groupes distingués

Morgatte · October 2017

Bonjour,

Je me pose une question, sans doute est-elle naïve pour vous, mais en lisant cette page je me suis demandé ceci :

- en écartant le cas de {e} puisqu'il fait forcément parti du centre, donc distingué.
- en en écartant G puisque H=G tout élément $ghg^{-1} \in G$, donc distingué.
- alors, un sous-groupe distingué est-il obligatoirement le centre, ou bien existe-t-il d'autres sous-groupes de G (non simple) distingués ?

Merci.

Poirot · October 2017

Si $G$ est abélien alors tout sous-groupe est distingué. Pourtant le centre d'un groupe abélien est le groupe entier. Le centre est toujours un sous-groupe distingué mais la réciproque est bien évidemment fausse, il n'y a priori aucun lien entre le centre et un sous-groupe distingué.

b.b · October 2017

Les premiers contre-exemples apparaissent pour $|G|=4$.

Math Coss · October 2017

Pour être plus explicite :

$\Z/4\Z$ contient un unique sous-groupe d'ordre $2$, il est distingué ;
$(\Z/2\Z)^2$ contient trois sous-groupes d'ordre $2$, tous distingués.

En non-abélien :

le groupe alterné (groupe formé des permutation de signature $1$) est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ;
le groupe spécial linéaire, formé des matrices de déterminant $1$, est un sous-groupe distingué du groupe linéaire (formé des matrices inversibles de taille donnée) ;
si $\phi:G\to H$ est un morphisme de groupe, le noyau de $\phi$ est un sous-groupe distingué (pourquoi ?) ; inversement, tout sous-groupe distingué d'un groupe $G$ est le noyau d'un morphisme $G\to H$ (pourquoi ? quel $H$ fait l'affaire ?).

Morgatte · October 2017

Oui pour $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ je vois. Puisqu'ils sont Abéliens Z(G) = G tout entier et Z(G) est forcément distingué.
C'était plutôt les cas en dehors du centre qui m'intéressent. Hélas pour les exemples non Abéliens ci-dessus je ne me suis pas encore intéressé à ce qu'ils représentent, donc je vais d'abord devoir les rencontrer pour pouvoir y réfléchir.

Merci pour ces pistes.

Poirot · October 2017

As-tu lu mon message ? Dans un groupe abélien tous les sous-groupes sont distingués. Donc si tu prends n'importe quel sous-groupe de $\mathbb Z/24 \mathbb Z$ par exemple, il sera distingué sans être le centre (qui est le groupe tout entier).

b.b · October 2017

Non, mais $Z(G)$ est toujours distingué dans $G$, quel que soit le groupe $G$. Qu'il soit abélien ou non n'y change rien. Soient $x\in Z(G)$ et $g\in G$. Comme $x$ commute avec tout le monde, $gxg^{-1}=x\in Z(G)$ et $Z(G)$ est distingué dans $G$. Tu remarqueras qu'on n'a pas fait d'hypothèse sur $G$. Le fait que tous les sous-groupes sont distingués quand $G$ est abélien, c'est en bonus.

Morgatte · October 2017

Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1544752,1544760#msg-1544760
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Oui, "la réciproque est fausse... un sous-groupe distingué ne fait pas forcément parti du centre". Bien !
C'est juste que je ne vois pas d'exemple et c'est justement ce que je recherche. Math Coss m'en a suggéré 3, mais ne les connaissant pas du tout, il va me falloir un peu de temps pour étudier ces cas.

b.b, je suis ok avec tout ça. J'ai vu des exemples de Z(G) pour des groupes non Abéliens tels que $D4$ et $H8$ dans ma question précédente ici.

b.b · October 2017

Ben, si tu as compris le contre-exemple avec $\Z/4\Z$ donné par Math Coss, ça règle la question, non ? $\Z/4\Z$ est égal à $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}$, son sous-groupe $H$ engendré par $\bar{2}$ est $\{\bar{0},\bar{2}\}$. Comme $\Z/4\Z$ est abélien, $H$ est distingué et il n'est pas égal au centre $\Z/4\Z$ ni au sous-groupe trivial $\{\bar{0}\}$. À moins que tu ne veuilles un exemple de sous-groupe distingué non inclus dans le centre ? Dans ce cas, tu peux considérer le sous-groupe $\mathfrak{A}_{3}$ de $\mathfrak{S}_{3}$ (le centre de $\mathfrak{S}_{3}$ est trivial).

Poirot · October 2017

Morgatte a écrit:

un sous-groupe distingué est-il obligatoirement le centre

Je répondais à cela. Je ne sais pas pourquoi la question est soudainement devenue "est-ce qu'un sous-groupe distingué est toujours dans le centre"...

@b.b : je ne sais pas si ta démonstration du caractère distingué du centre m'était destinée, en tout cas mes deux premiers messages répondaient à la question en haut de ce message.

b.b · October 2017

@ Poirot

Non non, je répondais à Morgatte qui avait l'air d'utiliser le caractère abélien de $G$ pour prouver que $Z(G)$ est distingué (dans son avant-dernier message).

Morgatte · October 2017

Excusez-moi, je pense que je suis allé un peu vite, effectivement je me suis mal exprimé à un moment.

Je savais que le centre était distingué. Mais ce que je me demandais à la suite de ça, c'était si un sous-groupe pouvait être distingué sans forcément être dans le centre.

Merci pour les suggestions ci-dessus. J'ai vu pour $\mathfrak{S}_{3}$ et son sous-groupe $A_{3}$, je vais tester pour d'autres groupes symétriques. J'ai aussi vos autres exemples à voir. $GL_{n}$ et $SL_{n}$, puis $\mathfrak{U}_{n}$.
J'imagine que $O_{n}$ et $SO_{n}$ peuvent également être intéressants pour cette question.