Sous-groupes distingués
Bonjour,
Je me pose une question, sans doute est-elle naïve pour vous, mais en lisant cette page je me suis demandé ceci :
- en écartant le cas de {e} puisqu'il fait forcément parti du centre, donc distingué.
- en en écartant G puisque H=G tout élément $ghg^{-1} \in G$, donc distingué.
- alors, un sous-groupe distingué est-il obligatoirement le centre, ou bien existe-t-il d'autres sous-groupes de G (non simple) distingués ?
Merci.
Je me pose une question, sans doute est-elle naïve pour vous, mais en lisant cette page je me suis demandé ceci :
- en écartant le cas de {e} puisqu'il fait forcément parti du centre, donc distingué.
- en en écartant G puisque H=G tout élément $ghg^{-1} \in G$, donc distingué.
- alors, un sous-groupe distingué est-il obligatoirement le centre, ou bien existe-t-il d'autres sous-groupes de G (non simple) distingués ?
Merci.
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Réponses
- $\Z/4\Z$ contient un unique sous-groupe d'ordre $2$, il est distingué ;
- $(\Z/2\Z)^2$ contient trois sous-groupes d'ordre $2$, tous distingués.
En non-abélien :C'était plutôt les cas en dehors du centre qui m'intéressent. Hélas pour les exemples non Abéliens ci-dessus je ne me suis pas encore intéressé à ce qu'ils représentent, donc je vais d'abord devoir les rencontrer pour pouvoir y réfléchir.
Merci pour ces pistes.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Oui, "la réciproque est fausse... un sous-groupe distingué ne fait pas forcément parti du centre". Bien !
C'est juste que je ne vois pas d'exemple et c'est justement ce que je recherche. Math Coss m'en a suggéré 3, mais ne les connaissant pas du tout, il va me falloir un peu de temps pour étudier ces cas.
b.b, je suis ok avec tout ça. J'ai vu des exemples de Z(G) pour des groupes non Abéliens tels que $D4$ et $H8$ dans ma question précédente ici.
Je répondais à cela. Je ne sais pas pourquoi la question est soudainement devenue "est-ce qu'un sous-groupe distingué est toujours dans le centre"...
@b.b : je ne sais pas si ta démonstration du caractère distingué du centre m'était destinée, en tout cas mes deux premiers messages répondaient à la question en haut de ce message.
Non non, je répondais à Morgatte qui avait l'air d'utiliser le caractère abélien de $G$ pour prouver que $Z(G)$ est distingué (dans son avant-dernier message).
Je savais que le centre était distingué. Mais ce que je me demandais à la suite de ça, c'était si un sous-groupe pouvait être distingué sans forcément être dans le centre.
Merci pour les suggestions ci-dessus. J'ai vu pour $\mathfrak{S}_{3}$ et son sous-groupe $A_{3}$, je vais tester pour d'autres groupes symétriques. J'ai aussi vos autres exemples à voir. $GL_{n}$ et $SL_{n}$, puis $\mathfrak{U}_{n}$.
J'imagine que $O_{n}$ et $SO_{n}$ peuvent également être intéressants pour cette question.