Groupe produit

Steph_ntic
Steph_ntic
dans Algèbre
Bonjour à tous

Je sollicite votre aide pour la compréhension d'une notion qui me paraît un peu abstraite même si l'énoncé de son théorème est tout à fait clair mais pas évident à démontrer.
Il s'agit du groupe produit je sais que c'est une structure de groupe qui permet de construire des groupes... Je voulais avoir un peu plus d'informations sur cette structure et des idées pour la démonstration du théorème.
Soit (G, *) et (G', T) deux groupes alors sur leur produit cartésien GXG' la loi de composition interne 0 est définie par (a, x), (b, y) dans GXG'
(a, x)0(b, y)=(a*b, xTy)
Je n'ai aucune idée à part montrer que c'est un groupe mais difficile de vérifier les axiomes d'un groupe.
Merci d'avance.

Réponses

  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    Bonjour

    applique ce que tu as écrit (implique toi dans ce que tu dit)

    si tu écris e est l' élément neutre de G
    si tu écris e' est l' élément neutre de G'
    a t-on avis la loi du groupe produit à pour élément neutre quoi?

    pourquoi?

    puis sachant que pour tout x de G et tout y de G'
    $x*x^{-1}=e$ et $yTy^{-1}=e'$
    que sera l'inverse de (x,y) dans le groupe produit

    pourquoi?
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    fluorhydrique

    Offert En effet, j'ai G et G' deux groupes, évidement * (resp T) admet un neutre pour G (resp G') noté e (resp e') donc facilement on déduit que le couple (e, e') appartient à GxG'.
    Aussi pour l'élément symétrie j'ai pensé à un truc...
    Vus que G est un groupe alors pour tout x élément de G il existe son symétrie dans G qu'on notera x' pareil pour G' qu'on notera y' vue que x' appartient à G et y' appartient à G' alors (x', y') appartient à GxG'... Deux axiomes vérifier si je ne me suis pas trompé... Je me dis le groupe produit Étant le produit cartésien de 2 groupes bahh c'est la méthode qui m'est venue en tête... Mais pour l'associativité j'ai quelques idées mais qui sont pas tout affaire à fait exactes mais j'y travaille.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    mince applique
    c'est avec les mains et de l'acide fluorhydrique qu'on va sur la lune et pas avec des mots)

    (e,e')o(x,y)=(e*x,e'Ty)=(...,...) donc (e,e') est...

    (x,y)o(x^-1,y^-1)=(x*x^-1,yTy^-1)=(...,...) donc (x^-1,y^-1) est...
  • Poirot
    Poirot
    On te donne la loi et tu sais quoi vérifier, il n'y a alors pas 36000 méthodes pour montrer qu'on obtient bien une structure de groupes. Pour le neutre et le symétrique d'un élément il faut les deviner mais il n'y a pas beaucoup de candidats de toute façon. Ensuite pour l'associativité c'est assez immédiat, il suffit d'écrire ce que l'on veut vérifier et d'utiliser le fait que sur nos groupes de départ les lois sont associatives. Il ne faut pas rester sans rien faire face à ça et écrire les choses ! C'est une des méthodes clés pour faire des maths !
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Poirot écrivait:
    [Inutile de répéter le message précédent. Poirot]

    Ahhh OK c'est compris j'ai même terminé la demo et j'espère qu'elle est vrai. Pour le symétrie je trouve le coupe (x', y') que je me suis choisi moi même pour l'associativité:
    Pour tout (x, y), (x', y'), (x'', y'') dans GxG on a [(x, y)0(x',y')]0(x'',y'')=(x *x', yTy') 0(x'',y'')=(x*x'*x'',yTy'Ty'') = (x, y) 0[(x',y')0(x'',y'')] car * (resp T) sont associative dans G (respG')
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    La demonstration est juste ??? Si non je me remets au travail
  • Poirot
    Poirot
    Ta démonstration est correcte (mais il faudrait rédiger mieux que ça). Oublie les divagations de fluorhydrique.
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Poirot merci... A un certain moment j'avais peur de fluorhydrique il est très mystérieux
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